Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

Příklad 5.63. Najděte největší a nejmenší hodnotu funkce

f (x, y) = x

2 − 2y2 + 4xy − 6x − 1

na množině

{ (x, y) | x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ 3 − x } .

5.6 Optimalizace

283

Funkce je spojitá, množina uzavřená ob-
last – absolutní extrémy mohou nastat ve
stacionárních bodech uvnitř zadané mno-
žiny, ve stacionárních bodech pro vázané
extrémy na úsečkách

{ x = 0, y ∈ (0, 3) },

{ y = 0, x ∈ (0, 3) }

{ y = 3 − x, x ∈ (0, 3) }

nebo ve vrcholech trojúhelníka. Stačí na-
jít příslušné stacionární body, vypočítat
v nich funkční hodnoty a porovnat s hod-
notami ve vrcholech. V bodě, kde bude
hodnota největší resp. nejmenší, je abso-
lutní maximum resp. minimum:

Obr. 5.34: x2 − 2y2 + 4xy − 6x − 1

Řešení. Stacionární body uvnitř množiny:

f

0 = (2x + 4y − 6, −4y + 4x) = 0

⇒

A = (1, 1), f (A) = −4

Vázané extrémy:

f (0, y) = f1(y) = −2y

2 − 1,

y ∈ (0, 3);

f

0

1 = −4y = 0

⇒

y = 0,

f (x, 0) = f2(x) = x

2 − 6x − 1,

x ∈ (0, 3);

f

0

2 = 2x − 6 = 0

⇒

x = 3,

f (x, 3 − x) = f3(x) = −5x

2 + 18x − 19,

x ∈ (0, 3);

f

0

3 = −10x + 18 = 0

⇒

x =

9

5

, y =

6

5

.

Vypočítáme příslušné funkční hodnoty:

f (1, 1) = −4, f (

9

5

,

6

5

) = −

14

5

, f (0, 3) = −19, f (3, 0) = −10, f (0, 0) = −1 ⇒

funkce má na dané množině absolutní maximum v bodě (0, 0),

fmax = −1,

funkce má na dané množině absolutní minimum v bodě (0, 3),

fmin = −19.

Poznámky k předchozímu příkladu:

a) Z obrázku je patrné, že ve stacionárním bodě (1, 1) má funkce sedlový bod, tedy zde

nemá ani lokální extrém. Ovšem jelikož nás zajímal absolutní extrém, nebylo třeba
vyšetřovat v tomto bodě druhou derivaci.