Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
3
9
> 0
v bodě x3 =
√
3
9 +
√
3
l nastane vázané lokální minimum s hodnotou
f3(x3) = f (x3, l − x3) =
3(π + 3
√
3)
(9 + π
√
3)2
l
2 .
= 0,120 l
2.
Určíme hodnoty účelové funkce v jednotlivých vrcholech trojúhelníka a všechny zjištěné
hodnoty porovnáme:
f (0, 0) =
1
4
l
2 = 0,25 l2,
f (0, l) =
√
3
9
l
2 .
= 0,192 l
2,
f (l, 0) =
1
π
l
2 .
= 0,318 l
2.
Vidíme, že nejmenší hodnoty účelová funkce nabude v bodě [x0, y0] a největší v bodě [l, 0].
Závěrem výsledky shrneme:
Nejmenší součet plošných obsahů získáme pro
x =
π
√
3
9 + (4 + π)
√
3
l
.
= 0,255 l,
y =
9
9 + (4 + π)
√
3
l
.
= 0,421 l,
z =
4
√
3
9 + (4 + π)
√
3
l
.
= 0,324 l.
Minimální hodnota je
1
4
f (x0, y0) =
3(4 + π + 3
√
3)
4(9 + (4 + π)
√
3)2
l
2 .
= 0,0202 l
2.
Největší součet plošných obsahů získáme pro
x = l, y = 0, z = 0,
tedy v případě, že z celého drátu utvoříme kruh. Maximální hodnota je
1
4
f (l, 0) =
1
4π
l
2 .
= 0,0796 l
2.
5.6 Optimalizace
287
Shrnutí
V této kapitole jsme pro funkce více proměnných zavedli pojmy
• lokální maximum (resp. minimum):
má funkce f v bodě X0, jestliže existuje
okolí tohoto bodu tak, že v libovolném bodě tohoto okolí jsou funkční hodnoty
funkce f menší (resp. větší) než v bodě X0, přičemž lokální maximum (resp.
minimum) je funkční hodnota funkce f v bodě maxima (resp. minima),
• lokální extrém:
společný název pro lokální maxima a minima,
• vázaný extrém:
lokální extrém funkce, která vznikne zúžením dané funkce na
množinu bodů, popsaných podmínkou (nebo více podmínkami), které jsou ve
tvaru rovností,
• absolutní extrém:
lokální extrém funkce, která vznikne zúžením dané funkce
na množinu bodů, popsaných podmínkami, které jsou ve tvaru nerovností.