Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Hledáme body, ve kterých platí
F
0 = ( yz(a − 2x − y − z), xz(a − x − 2y − z), xy(a − x − y − 2z) ) = 0.
Vzhledem k tomu, že žádná proměnná nemůže být rovna nule, řešíme soustavu
2x + y + z = a
x + 2y + z = a
x + y + 2z = a
⇒
x = y = z =
a
4
(= u)
5.6 Optimalizace
281
Dostáváme stacionární bod A =
a
4 ,
a
4 ,
a
4
.
Z charakteru úlohy vyplývá, že jsme našli řešení úlohy; přesto se přesvědčíme pomocí
Sylvestrova kriteria, že se jedná o maximum:
f 00
xx = −2yz,
f 00
xy = z(a − 2x − 2y − z);
f 00
yy = −2xz,
f 00
xz = y(a − 2x − y − 2z);
f 00
zz = −2xy,
f 00
yz = x(a − x − 2y − 2z);
f 00
xx(A) = f
00
yy (A) = f
00
zz (A) = −
a2
8 ,
f 00
xy (A) = f
00
xz (A) = f
00
yz (A) = −
a2
16 .
f
00 =
−
a2
16
3
2 1 1
1 2 1
1 1 2
,
D3(A) = −
a6
46
· 6 < 0,
D2(A) =
a4
44
· 3 > 0,
D1(A) = −
a2
8
< 0
– v bodě A skutečně nastane maximum o hodnotě
a4
44 . Číslo je třeba rozdělit na čtyři
stejné díly.
Příklad 5.60. Máme najít extrémy funkce f (x, y) = xy za podmínky x2 + y2 = 2.
Řešení. V tomto případě nemůžeme vyjádřit z podmínky žádnou proměnnou jedno-
značně, je vhodnější použít parametrické rovnice. Podmínka je rovnice kružnice se středem
v počátku a poloměrem
√
2, parametrické rovnice mají tedy tvar
x =
√
2 cos t, y =
√
2 sin t,
t ∈ h0, 2πi.
Dosadíme do účelové funkce a dostaneme funkci
g(t) = f (
√
2 cos t,
√
2 sin t) = 2 cos t sin t = sin 2t.
Úlohu jsme převedli na problém nalezení největší a nejmenší hodnoty funkce jedné pro-
měnné t na uzavřeném intervalu th0, 2πi.