Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

Dále jsme uvedli nutné a postačující podmínky pro existenci lokálních extrémů funkcí
třídy Ck, k ≥ 2:

• má-li funkce f v X0 lokální extrém, platí gradf (X0) = f 0(X0) = 0, přičemž bod,

ve kterém je tato podmínka splněna, se nazývá stacionární bod,

• platí-li pro druhý diferenciál funkce f ve stacionárním bodě X0 pro každý nenu-

lový přírůstkový vektor h

1. d2f (X0, h) > 0, je v bodě X0 lokální minimum,

2. d2f (X0, h) < 0, je v bodě X0 lokální maximum,

3. d2f (X0, h) ≥ 0, extrém v bodě X0 může a nemusí nastat,

4. d2f (X0, h) ≤ 0, extrém v bodě X0 může a nemusí nastat.

Jestliže pro některé h je d2f (X0, h) > 0 a pro jiné h je d

2f (X

0, h) < 0, extrém

nenastane.

Pro jednodušší vyšetřování existence lokálních extrémů ve stacionárních bodech jsme
uvedli Sylvestrovo kriterium 5.54.

288

Diferenciální počet II.

Otázky a úkoly

1. Co je to lokální extrém funkce více proměnných a jak se vyšetřuje?

2. Jistá funkce f (x, y) má v bodě [a, b] lokální minimum. Vysvětlete, proč funkce jedné

proměnné, jejíž graf vznikne jako řez grafu funkce f (x, y) libovolnou rovinou, která
je kolmá na souřadnou rovinu z = 0 a prochází bodem [a, b, f (a, b)], má také v tomto
bodě lokální minimum.

3. Nechť f 0

x(a, b) 6= 0. Vysvětlete, proč funkce f nemůže mít v bodě [a, b] lokální mini-

mum.

4. Nechť f 0

x(a, b) = f

0

y (a, b) = 0 a f

00

xx(a, b) · f

00

yy (a, b) < 0. Vysvětlete, proč funkce f

musí mít v bodě [a, b] sedlový bod.

5. Vrstevnice funkce f (x, y) tvoří soustředné kružnice. Musí mít funkce f ve společném

středu těchto kružnic extrém?