Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Nechť I = ha, bi × hc, di ⊂ R
2, f : I → R. . (Riemannův) integrál z funkce f na
intervalu I lze aproximovat součty tvaru
S =
n
X
i=1
f (ξi) m2(Ii),
(integrálními součty), kde I1, . . . , In jsou (dvojrozměrné) intervaly, jejichž sjednocením
je interval I, m2(Ii) je plošný obsah intervalu Ii, ξi ∈ Ii, i = 1, . . . , n a ∀i, j :
i 6=
6= j ⇒ m2(Ii ∩ Ij) = 0.
Příklad 6.1. Uvažujme funkci f (x, y) = (x−4)2 +(y −2)2 na intervalu I = h0, 4i×h0, 2i.
Rozdělme I na 4 stejné intervaly a za vybrané body zvolme středy těchto intervalů, tedy
D1 = {{h0, 2i×h0, 1i, h2, 4i×h0, 1i, h0, 2i×h1, 2i, h2, 4i×h1, 2i}, {[1,
1
2 ], [3,
1
2 ], [1,
3
2 ], [3,
3
2 ]}}.
6.1 Dvojný a trojný integrál
293
Obr. 6.1: K př. 6.1 – funkce
Obr. 6.2: K př. 6.1 – dělení
Sestavíme integrální součet:
S1 = f (1,
1
2 ) · 2 + f (3,
1
2 ) · 2 + f (1,
3
2 ) · 2 + f (3,
3
2 ) · 2) = 11,25 · 2 + 9,25 · 2 + 3,25 · 2 + 1,25 · 2 = 50.
Rozdělme I na 16 stejných intervalů a za vybrané body zvolme opět středy těchto inter-
valů;
Příslušný integrální součet bude:
S2 =
f (
1
2 ,
1
4 ) ·
1
2 + f (
3
2 ,
1
4 ) ·
1
2 + f (
5
2 ,
1
4 ) ·
1
2 + f (
7
2 ,
1
4 ) ·
1
2 + f (
1
2 ,
3
4 ) ·
1
2 + f (
3
2 ,
3
4 ) ·
1
2 + f (
5
2 ,
3
4 ) ·
1
2 + f (
7
2 ,
3
4 ) ·
1
2 +
+f (
1
2 ,
5
4 )·
1
2 +f (
3
2 ,
5
4 )·
1
2 +f (
5
2 ,
5
4 )·
1
2 +f (
7
2 ,
5
4 )·
1
2 +f (
1
2 ,
7
4 )·
1
2 +f (
3
2 ,
7
4 )·
1
2 +f (
5
2 ,
7
4 )·
1
2 +f (
7
2 ,
7
4 )·
1
2 =
=
1
2 (15,3125 + 13,8125 + 12,8125 + 12,3125 + 9,3125 + 7,8125 + 6,8125 + 6,3125 +