Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
n
!
. . .
!
dxi
2
!
dxi
1
pro každou permutaci (i1, i2, . . . in) množiny indexů {1, 2, . . . n} .
Příklad 6.7. Vypočítejme následující integrály:
a)
R
I
x2 y dx dy,
I = h0, 2i × h1, 2i,
b)
R
I
ln(1 + x)2y dx dy,
I = h0, 1i × h0, 1i,
c)
R
I
(x + y + z) dx dy dz, I = h0, 3i × h0, 2i × h0, 1i,
d)
R
I
xz
1 + xy
dx dy dz,
I = h0, 1i × h0, 1i × h0, 1i.
Řešení.
a)
Z
I
x
2 y dx dy =
Z
2
0
dx
Z
2
1
x
2y dy =
Z
2
0
x
2 dx
Z
2
1
y dy =
Z
2
0
x
2
y2
2
2
1
dx =
=
3
2
Z
2
0
x
2 dx =
3
2
x3
3
2
0
= 4
b)
Z
I
ln(1 + x)
2y dx dy =
Z
1
0
dx
Z
1
0
2y ln(1 + x) dy =
Z
1
0
ln(1 + x) dx
Z
1
0
2y dy =
298
Integrální počet II
(na tomto místě je užitečné si uvědomit, že vnitřní integrál je po výpočtu konstanta,
kterou můžeme z vnějšího integrálu vytknout – integrační obor je interval a integrand
je tvaru f (x)·g(y). V tomto (a jen v takovém) případě lze daný dvojrozměrný integrál
vypočíst jako součin dvou jednoduchých integrálů:)
=
Z 1
0
2y dy
Z 1
0
ln(1 + x) dx
= |druhý integrál per partes| =
=
y2
1
0
· [x ln(x + 1) − x + ln(x + 1)]
1
0 = 2 ln 2 − 1.
c)
Z
I
(x + y + z) dx dy dz =
Z
1
0
dz
Z
2
0
dy
Z
3
0
(x + y + z)dx =
=
Z
1
0
dz
Z
2
0
dy
x2
2
+ xy + xz
x=3
x=0
= 3
Z
1
0
dz
Z
2
0
3
2
+ y + z
dy =
= 3
Z
1
0
dz
3
2
y +
1
2
y
2 + yz
2
0
= 3
Z
1
0
(5 + 2z)dz = 3
5z + z2
1
0
= 18.
d)
Z
I
xz
1 + xy
dx dy dz =
Z
1
0
z dz ·
Z
1
0
x dx
Z
1
0
1
1 + xy
dy =
=
z2
2
1
0
Z
1
0
x
1
x
ln |1 + xy|
y=1
y=0
dx =
1
2
Z
1
0
ln(1 + x) dx =
=
u = ln(1 + x) u0 =
1
1+x
v0 = 1
v = 1 + x
=
1
2
[(1 + x) ln(1 + x)]
1
0 −
Z
1
0
1 dx
=
= ln 2 −
1
2
.
Zde jsme u metody per partes položili v = x + 1 – to jistě není chyba, protože
(x + 1)0 = 1; výpočet se nám tím zjednodušil – ve druhém integrálu integrujeme
jedničku.