Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

+5,3125 + 3,8125 + 2,8125 + 2,3125 + 3,3125 + 1,8125 + 0,8125 + 0,3125) = 52,5.

Situace je naznačena v následujících obrázcích:

294

Integrální počet II

Obr. 6.3: K př. 6.1 – S1

Obr. 6.4: K př. 6.1 – S2

Budeme-li dále zjemňovat dělení, bude zřejmě hodnota integrálních součtů stále lépe

aproximovat vyšetřovaný objem; naznačený postup vede k definici dvojného integrálu na
obdélníku (pro trojrozměrný, event. vícerozměrný případ by se postupovalo analogicky).

Než přikročíme k formulaci definice vícerozměrného integrálu, zavedeme pojem dělení

intervalu a normu dělení pro vícerozměrné intervaly; norma dělení v jednorozměrném
případě byla maximální délka dělícího intervalu. Ve vícerozměrném případě se zavádí
jako ekvivalentní pojem k délce jednorozměrného intervalu pojem průměru množiny:

Definice 6.2. Nechť M ⊂ R

n je uzavřená ohraničená množina. Číslo

d(M ) = max{|X − Y | | X, Y ∈ M }

se nazývá průměr množiny M.

Průměr množiny je největší možná vzdálenost libovolných dvou bodů množiny; to je u
obdélníku délka úhlopříčky, u kvádru délka tělesové úhlopříčky atd.

Poznamenejme, že průměrem množiny, která není uzavřená nebo ohraničená, rozumíme
číslo d(M ) = sup{|X − Y | | X, Y ∈ M }.

Definice 6.3. Nechť I ∈ R

k je k-rozměrný interval; tj. pro k = 2 obdélník, pro k = 3

kvádr, f : I → R ohraničená funkce.

6.1 Dvojný a trojný integrál

295

• Systém intervalů

{I1, I2, . . . , In}

se nazývá dělení intervalu I, jestliže platí

I1 ∪ I2 ∪ · · · ∪ In = I

a současně

mk(Ii ∩ Ij) = 0

∀i, j = 1 . . . n.

Průnikem libovolných dvou dílčích intervalů je tedy množina dimenze < k, tj. nanej-
výš úsečka v dvojrozměrném případě, nanejvýš obdélník v trojrozměrném případě
atd.