Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

• Normou dělení D(I) = {I1, I2, . . . , In} rozumíme číslo

ν(D) = max{d(Ii), i = 1 . . . n}.

Norma dělení je tedy největší průměr dělícího intervalu.

• Integrální součet příslušný funkci f a dělení D(I) s vybranými body je číslo

S(D, f ) =

n

X

i=1

f (ξi) m(Ii),

kde

ξi ∈ Ii ∀i.

• Řekneme, že číslo J je dvojným (trojným) integrálem funkce f : I → R na

intervalu I a píšeme

J =

Z

I

f (x, y) dx dy

J =

Z

I

f (x, y, z) dx dy dz

,

jestliže pro každé  > 0 lze najít takové δ > 0 a n ∈ N, že pro všechna dělení
D(I) = {I1, ...In} pro které je ν(D) < δ nezávisle na volbě bodů ξi ∈ Ii (i = 1, . . . , n)
platí

|J − S(D, f )| < .

Vyhovuje-li některá funkce f a číslo J předchozí definici, říkáme, že integrál

J =

Z

I

f (x, y) dx dy

J =

Z

I

f (x, y, z) dx dy dz

existuje a že funkce f je na I integrovatelná.

Pro jednoduchost budeme někdy užívat pro vícerozměrné integrály zápis

R

I

f (X) dX.

Analogicky jako u určitého integrálu platí následující existenční věta:

Věta 6.4. Nechť f : I → R je na I spojitá. Potom je na tomto intervalu integrovatelná.

296

Integrální počet II

Obr. 6.5: Fubiniova věta pro obdélník ha, bi × hc, di

Dříve než uvedeme větu o výpočtu určitého integrálu, naznačíme si její odvození pro

dvojrozměrný případ:

Dvojný integrál z nezáporné funkce nad obdélníkem je (podle definice) objem tělesa
s tímto obdélníkem (v rovině z = 0) jako dolní podstavou a omezeného shora grafem
integrované funkce. Vztah pro výpočet objemu takového tělesa jsme uvedli v kapitole 3.4
- je třeba integrovat funkci, která každému x přiřadí obsah příčného řezu tělesem.