Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
5. Najděte třetí Taylorův polynom funkce f (x, y, z) = sin x sin y sin z v bodě X0 =
= (
π
4 ,
π
4 ,
π
4 ).
6. Nahraďte funkci f (x, y) = xy v okolí bodu X0 = (1, 1) polynomem třetího stupně.
Pomocí tohoto polynomu určete přibližně (1,1)1,02.
Výsledky
1. a) 24, 0, −16, b) p!q!, c) (x + p)(y + q)(z + r) ex+y+z , d) sin n
π
2
;
2. a) 6dx dy dz, b) −12 sin(x2 + y2)(x dx + y dy)(dx2 + dy2) − 8 cos(x2 + y2)(x dx + y dy)3, c) −
1
x2
dx3 −
1
y2
dy3 −
1
z2
dz3;
3. a) −2 − y + (y − 2)2 − 2(x − 1)(y − 2) + 3(x − 1)2, b) y − 2 + x + 3(x − 1)2 + 3(y − 1)2 − 2(x − 1)(y − 1), y − 2 + x +
+ 3(x − 1)2 + 3(y − 1)2 − 2(x − 1)(y − 1) + (x − 1)3 + (y − 1)3; 4. a) 1 + y + x + x2 + xy + y2, b) 1 −
1
2
x4 − y2x2 −
1
2
y4, c)
y + xy −
1
6
y3 +
1
2
x2y, d) xy +
1
2
xy2 +
1
2
x2y;
7.
√
2
4
(1 + (x −
π
4
) + (z −
π
4
) + (y −
π
4
) −
1
2
(x −
π
4
)2 + (y −
π
4
)(x −
π
4
) + (z −
π
4
)(x −
π
4
) −
1
2
(z −
π
4
)2 + (y −
π
4
)(z −
π
4
) −
− 1
2
(y −
π
4
)2 −
1
6
(x −
π
4
)3 −
1
2
(y −
π
4
)(x −
π
4
)2 −
1
2
(z −
π
4
)(x −
π
4
)2 −
1
2
(y −
π
4
)2(x −
π
4
) + (z −
π
4
)(y −
π
4
)(x −
π
4
) −
1
2
(z −
− π
4
)2(x −
π
4
) −
1
6
(z −
π
4
)3 −
1
6
(y −
π
4
)3 −
1
2
(y −
π
4
)2(z −
π
4
) −
1
2
(y −
π
4
)(z −
π
4
)2);
8. 1 + (x − 1) + (x − 1)(y − 1) +
1
2
(x − 1)2(y − 1), 1 + 0,1 + 0,1 · 0,02 + 0,5 · 0,01 · 0,02 = 1,1021.
5.6
Optimalizace
Lokální extrémy
Definice 5.51. Řekneme, že funkce f : A → R, A ⊂ R