Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

cos y v okolí bodu X0 = (0, 0) polynomem

druhého stupně.

Řešení. Funkci rozvineme do Taylorova polynomu. Počítejme potřebné parciální deri-
vace:

f 0

x = −

sin x

cos y ,

f 0

x(0, 0) = 0;

f 0

y =

cos x sin y

cos2 y

,

f 0

y (0, 0) = 0;

f 00

xx = −

cos x

cos y ,

f 00

xx(0, 0) = −1;

f 00

xy = −

sin x sin y

cos2 y

, f 00

xy (0, 0) = 0;

f 00

yy =

cos x (1 + sin

2 y)

cos3 y

, f 00

yy (0, 0) = 1.

5.5 Derivace a diferenciály vyšších řádů, Taylorova věta

273

Odtud

f (x, y)

.

= f (0, 0) +

1

1!

f

0

x(0, 0) (x − 0) + f

0

y (0, 0) (y − 0)

 +

+

1

2!

f

00

xx(0, 0) (x − 0)

2 + 2f00

xy (0, 0) (x − 0)(y − 0) + f

00

yy (0, 0) (y − 0)

2 ,

tedy

cos x

cos y

.

= 1 +

1

2

(y

2 − x2).

Celá

situace

je

znázorněna

v sousedním obrázku; aproxi-
movaná funkce je nakreslena
barevně, příslušný polynom še-
dou barvou.

Obr. 5.28: Funkce a Taylorův polynom

Shrnutí

V této kapitole jsme pro funkce více proměnných zavedli pojem

• parciální derivace druhého řádu:

f 00

xixj (x1, x2, . . . , xn) = (f

0

xi(x1, x2, . . . , xn)

0
xj ,

tedy je to parciální derivace funkce, která vznikla jako parciální derivace jiné
funkce,

• parciální derivace k-tého řádu:

parciální derivace funkce, která již je (k − 1)-ní

derivací jiné funkce,

přičemž pro smíšené parciální derivace vyšších řádů platí Schwarzova věta, podle které
nezáleží na pořadí, v jakém počítáme derivace podle jednotlivých proměnných, jsou-li
tyto derivace spojité; dále jsme definovali

• derivaci

druhého

řádu

podle

vektoru

u:

f 00

uu(x1, x2, . . . , xn)

=

= (f 0

u(x1, x2, . . . , xn)

0
u,

• derivaci k-tého řádu podle vektoru u:

f

(k)

uk (x1, x2, . . . , xn) =

f

(k−1)