Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

xixj resp. f

00

xj xi smíšenými parciálními deri-

vacemi druhého řádu.

Analogicky jako u parciální derivace prvního řádu zavádíme pojem parciální derivace
druhého řádu na množině. Nazýváme jí funkci X 7→ f 00

xixj , která je definovaná na

množině B ⊆ A takové, že pro každé X ∈ B existuje f 00

xixj (X ).

Jsou-li všechny parciální derivace druhého řádu funkce f spojité, potom matice sestavená
z parciálních derivací druhého řádu

f 00

x1x1

f 00

x1x2

· · · f 00

x1xn

f 00

x2x1

f 00

x2x2

· · · f 00

x2xn

..

.

..

.

. ..

..

.

f 00

xnx1

f 00

xnx2

· · · f 00

xnxn

se nazývá druhá derivace funkce f a značí symbolem f 00.

V naznačeném postupu můžeme pokračovat při zavádění parciálních derivací vyšších řádů.

Pro smíšené parciální derivace druhého řádu platí následující tvrzení:

Věta 5.44. (Schwarzova) Nechť funkce f : A → R, A ⊆ R

n má v nějakém okolí bodu

X0 ∈ A parciální derivace f

0

xi , f

0

xj f

00

xixj , f

00

xj xi , které jsou spojité v bodě X0 . Potom platí

f

00

xixj (X0) = f

00

xj xi (X0).

Funkci mající spojité parciální derivace až do řádu k nazýváme funkcí třídy Ck. Má-li
funkce spojité parciální derivace všech řádů, říkáme, že je třídy C∞.

270

Diferenciální počet II.

Pro funkce třídy Ck platí zobecnění Schwarzovy věty – smíšené parciální derivace pro
libovolnou permutaci m-tice proměnných (m ≤ k), podle kterých derivujeme, jsou si
rovny, tedy

f

(m)

xi

1 ,xi2 ,...,xim

= f

(m)

xj

1 ,xj2 ,...,xjm

,

je-li (xj

1 , xj2 , . . . , xjm ) libovolná permutace m-tice (xi1 , xi2 , . . . , xim ).

Můžeme také definovat derivace vyšších řádů podle vektoru:

Definice 5.45. Nechť funkce f : A → R má v U(X0) ⊂ A derivaci f