Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Také u funkce více proměnných vyjadřuje diferenciál lineární část přírůstku funkce
vzhledem k přírůstkovému vektoru X − X0. V případě funkce jedné proměnné se pomocí
diferenciálu dala určit rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě x0:
y − f (x0) = df (x0) = f
0(x
0) (x − x0),
analogicky v případě funkce dvou proměnných dostaneme pomocí diferenciálu rovnici
tečné roviny v bodě [x0, y0]:
z − f (x0, y0) = df ((x0, y0), (x, y)) = f
0
x(x0, y0) (x − x0) + f
0
y (x0, y0) (y − y0),
neboli
f
0
x(x0, y0) x + f
0
y (x0, y0) y − z + f (x0, y0) − x0 f
0
x(x0, y0) − y0 f
0
y (x0, y0) = 0,
5.4 Derivace
261
Obr. 5.24: Geometrický význam diferenciálu
což je obecná rovnice tečné roviny. Z tohoto tvaru rovnice vidíme, že normálový vektor
k tečné rovině a tedy i ke grafu funkce f v bodě [x0, y0, f (x0, y0)] má tvar
n = (f
0
x(x0, y0), f
0
y (x0, y0), −1)
a normála ke grafu funkce f v tomto bodě má rovnice
x − x0
f 0
x(x0, y0)
=
y − y0
f 0
y (x0, y0)
=
z − f (x0, y0)
−1
.
Umíme tedy najít tečnou rovinu k ploše, která je grafem nějaké funkce dvou proměnných;
může se stát, že plochu nemůžeme chápat jako graf funkce (např. kulovou plochu).
Ukážeme si, jak lze postupovat v takovém případě.
Uvažujme plochu o rovnici f (x, y, z) = 0 a na ní bod X0 = [x0, y0, z0] (např. elipsoid
x2 + 2y2 + 3z2 − 6 = 0 s bodem X0 = [1, 1, 1]); máme najít rovnici tečné roviny k zadané
ploše v zadaném bodě. V některých případech je možné chápat část této plochy kde leží
zadaný bod jako graf jisté funkce (v případě uvažovaného elipsoidu by to byla funkce
z = f (x, y) =