Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

3. Je-li lim

x→a

[lim

y→b

f (x, y)] = 0, platí také

lim

(x,y)→(a,b)

f (x, y) = 0? Jestliže ano, dokažte.

Jestliže ne, pokuste se najít protipříklad.

254

Diferenciální počet II.

4. Rozhodněte o pravdivosti následujících tvrzení:

• Jestliže platí

lim

(x,y)→(a,b)

f (x, y) = L, potom lim

x→a

f (x, b) = L.

• Jestliže platí lim

x→a

f (x, b) = L, potom

lim

(x,y)→(a,b)

f (x, y) = L.

• Jestliže platí lim

x→a

f (x, b) = L, potom lim

y→b

f (a, y) = L.

• Jestliže platí

lim

(x,y)→(0,0)

f (x, y) = 0, potom

lim

(x,y)→(0,0)

f (cx, y) = 0 pro libovolnou

konstantu c.

5. Je možné na základě soustavy vrstevnic dané funkce v okolí nějakého bodu usoudit,

zda limita funkce v tomto bodě existuje nebo ne? Pokuste se odhadnout, ve kte-
rém bodě nemají limitu funkce z příkladu 11 ze cvičení ke kapitole o funkcích více
proměnných.

6. Pro funkci f (x, y) =

pcos(x2 + y2) − 1 zřejmě platí f(0, 0) = 0, a přesto tato funkce

není v bodě (0, 0) spojitá. Proč?

Cvičení

1. Vypočítejte následující limity:

a)

lim

(x,y)→(1,3)

x2y

4x2 − y

,

b)

lim

(x,y)→(2,−1)

1 −

p(x − 2)(y + 1) + 1

(x − 2)(y + 1)

,

c)

lim

(x,y)→(π,1)

cos xy

y2 + 1

,

d)

lim

(x,y)→(0,−1)

(1 + x sin

1

y+1 )

2

x sin

1

y+1

,

e)

lim

(x,y,z)→(1,0,2)

4xz

y2 + z2

, f)

lim

(x,y,z)→(1,1,0)

e2(x+y−z) − 1

ex+y−z − 1

.

2. Ukažte, že následující limity neexistují:

a)

lim

(x,y)→(0,0)

3x2

x2 + y2

,

b)

lim

(x,y)→(0,0)

2y2

2x2 − y2

,

c)

lim

(x,y)→(0,0)

4xy

3y2 − x2

, d)

lim

(x,y)→(0,0)

3x3

√

y

x4 + y2

,

e)

lim

(x,y)→(0,0)

y sin x

x2 + y2

,

f)

lim

(x,y)→(0,0)

x(cos y − 1)

x3 + y3

.

5.4 Derivace

255

3. Zjistěte body nespojitosti následujících funkcí:

a)

f (x, y) = sin

1

x−y ,

b) f (x, y) =

1

sin

2 πx + sin2 πy

,

c)

f (x, y) =

x2 + 3y2 + 5

y2 − 2x

,

d) f (x, y) =