Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

Definice 5.22.

1. Řekneme, že funkce f : M → R, M ⊂ R

n má v bodě A limitu

b , když

• A je hromadným bodem množiny M ,

• k libovolnému okolí U (b) limity b existuje okolí U (A) bodu A tak, že funkce f

zobrazí redukované okolí U ∗(A) do U (b), tedy

∀U (b) ∃ U (A) : f (U

∗(A)) ⊂ U(b).

Potom píšeme lim

X→A

f (X) = b.

2. Řekneme, že funkce f : M → R, M ⊂ R

n je v bodě A spojitá, jestliže

lim

X→A

f (X) = f (A).

3. Řekneme, že funkce f : M → R, M ⊂ R

n je spojitá na množině M , je-li spojitá

v každém bodě této množiny.

Příklad 5.23. Prověřte přímo z definice, že

lim

(x,y)→(x0,y0)

x = x0.

Zvolme libovolné epsilonové okolí li-
mity – interval (na ose z, na které
jsou funkční hodnoty funkce dvou
proměnných)

Uε = (x0 − ε, x0 + ε).

Máme

najít

redukované

δ-okolí

bodu [x0, y0] (tedy otevřený kruh
se středem [x0, y0], poloměrem δ a
s odstraněným středem), tj. mno-
žinu

U

∗

δ ([x0, y0]) = { (x, y) |

0 < (x − x0)

2 + (y − y

0)

2 < δ2 },

která se prostřednictvím funkce f
zobrazí dovnitř zvoleného okolí Uε,
tedy má platit

Obr. 5.14:

lim

(x,y)→(x0,y0)

x = x0

5.3 Limita, spojitost

249

f (U

∗

δ ([x0, y0])) ⊂ (x0 − ε, x0 + ε).

Ukážeme, že stačí položit δ = ε:

Je-li [x, y] ∈ U ∗

δ ([x0, y0]), tedy platí-li (x − x0)

2 + (y − y

0)

2 < ε2, potom je (x − x

0)

2 <

< ε2, tedy −ε < x − x0 < ε, odkud plyne, protože f (x, y) = x, že pro taková [x, y] je
f (x, y) ∈ (x0 − ε, x0 + ε), a to jsme měli dokázat.

Tento dosti jednoduchý příklad má zásadní význam: ukázali jsme totiž, že funkce
f (x, y) = x, tak zvaná první projekce, je v libovolném bodě spojitá, poněvadž limita je
zde rovna funkční hodnotě. Analogicky se totéž ukáže pro druhou projekci, konstantní
funkci a ostatní základní elementární funkce a odtud pomocí vět o limitách dostaneme
důležitý výsledek, obdobný tvrzení pro funkce jedné proměnné: