Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Věta 5.24. Elementární funkce jsou spojité ve všech hromadných bodech svého definič-
ního oboru.
Nyní uvedeme zmíněné věty o limitách:
Věta 5.25. (O limitě zúžené funkce) Existuje-li lim
X→A
f (x) = b, potom pro libovolnou
množinu M ⊂ Df , jejímž hromadným bodem je bod A, platí
lim
X→A
f /M (X) = b.
Důsledek:
Jestliže
lim
X→A
f /M (X) neexistuje, nebo jestliže pro dvě množiny M ⊂
⊂ Df , N ⊂ Df platí
lim
X→A
f /M (X) 6= lim
X→A
f /N (X),
potom lim
X→A
f (X) neexistuje.
Věta 5.26. (Aritmetické operace s limitami)
Je-li lim
X→A
f (X) = b1,
lim
X→A
g(X) =
= b2 a k ∈ R, platí:
lim
X→A
(f (X) + g(X)) = b1 + b2,
lim
X→A
k f (X) = k b1,
lim
X→A
(f (X) · g(X)) = b1 · b2,
lim
X→A
f (X)
g(X)
=
b1
b2
, je-li b2 6= 0.
Věta 5.27. (O limitě složené funkce)
Nechť je dána složená funkce
F (t1, t2, . . . , tn) = f (ϕ1(t1, t2, . . . , tn), ϕ2(t1, t2, . . . , tn), . . . , ϕm(t1, t2, . . . , tn) ),
nechť pro vnitřní složky ϕi, i = 1, . . . , m, této složené funkce platí
lim
(t1,t2,...,tn)→(a1,a2,...,an)
ϕi(t1, t2, . . . , tn) = bi, i = 1, . . . , m,
250
Diferenciální počet II.
a nechť je vnější složka f (x1, x2, . . . , xm) spojitá v bodě (b1, b2, . . . , bm). Potom platí
lim
(t1,t2,...,tn)→(a1,a2,...,an)
F (t1, t2, . . . , tn) = f (b1, b2, . . . , bm).
Věta 5.28. (Věta o sevření)
Jestliže pro každé X ∈ U (A) platí g(X) ≤ f (X) ≤ h(X)
a jestliže lim
X→A
g(X) = lim
X→A
h(X) = b, pak také lim
X→A
f (X) = b;
je-li speciálně |f (X)| ≤ h(X) pro X ∈ U (A) a lim
X→A
h(X) = 0, potom lim
X→A
f (X) = 0.