Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

a bodů X1 = [x1, y1, z1], X2 = [x2, y2, z2] v prostoru R

3 podle vzorce

d(X1, X2) =

p

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2.

. V souhlasu s těmito vzorci je také výpočet vzdálenosti na přímce:

d(x1, x2) = |x1 − x2| =

p

(x1 − x2)2.

To nás vede k následující definici:

Definice 5.19. Vzdálenost dvou bodů X = [x1, x2, . . . , xn], Y = [y1, y2, . . . , yn] v
n-rozměrném prostoru R

n je číslo d(X, Y ) definované předpisem

d(X, Y ) =

p

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + · · · + (xn − yn)2.

Prostor, v němž je vzdálenost dvou bodů definovaná předchozím vzorcem, se nazývá
eukleidovský.

Poznamenejme, že k pojmu eukleidovský prostor můžeme také dojít jiným postupem –

jedná se o příklad aritmetického vektorového prostoru se skalárním součinem (viz Dodatek
Geometrie) a „vzdálenostÿ vektorů u, v je velikost jejich rozdílu, jestliže velikost vektoru
u definujeme jako kuk =

√

u · u.

Pojem okolí bodu v n-rozměrném prostoru R

n nyní můžeme definovat pomocí vzdá-

lenosti:

Definice 5.20. Buď A ∈ R

n. Množina

Uδ(A) = { X ∈ R

n | d(A, X) < δ}

se nazývá okolí bodu A, množina

U

∗

δ (A) = Uδ (A) \ {A}

se nazývá redukované okolí bodu A. Číslo δ se nazývá poloměr okolí.

V případech, kdy na poloměru okolí nezáleží, budeme index δ vynechávat a budeme pro
okolí (resp. redukované okolí) používat označení U (A) (resp. U ∗(A)).

5.3 Limita, spojitost

247

Ve dvojrozměrném prostoru je okolí bodu otevřený kruh se středem v tomto bodě,

v trojrozměrném otevřená koule (na přímce to byl otevřený interval).

V diferenciálním počtu funkce jedné proměnné jsme uvedli věty o funkcích spojitých na
uzavřeném intervalu; nejdůležitější z nich byla věta o existenci maxima a minima funkce
spojité na uzavřeném intervalu. Analogické věty platí i pro funkce více proměnných. Pro
jejich formulaci je třeba pojem uzavřeného intervalu dostatečně zobecnit. To nás vede
k definici následujících pojmů: