Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

• složená funkce s vnější složkou f a vnitřními složkami ϕi

je funkce

F (t1, t2, . . . , tn) = f (ϕ1(t1, t2, . . . , tn), ϕ2(t1, t2, . . . , tn), . . . , ϕm(t1, t2, . . . , tn) ).

Analogicky jako u funkce jedné proměnné se definují aritmetické operace s funkcemi
a pojem ohraničené funkce.

5.2 Funkce více proměnných

241

Otázky a úkoly

1. Co rozumíme funkcí dvou (tří) proměnných?

2. Jak hledáme přirozený definiční obor funkcí dvou (tří) proměnných?

3. Co je to graf funkce dvou proměnných a jak můžeme získat představu o jeho prů-

běhu?

4. Funkcím a) – f) přiřaďte grafy A – F:

a) f (x, y) = x2 + 3x7,

b) f (x, y) = x2 − y3,

c) f (x, y) = cos2 x + y2,

d) f (x, y) = cos(x2 + y2),

e) f (x, y) = sin(x2 + y2), f)

f (x, y) = e−x

2−y2 .

Obr. 5.10:

242

Diferenciální počet II.

5.

Obr. 5.11:

6. Co jsou to vrstevnice funkce dvou proměnných a hladiny funkce tří proměnných?

7. Grafům funkcí v obrázcích a) až d) přiřaďte jejich „mapyÿ – soustavy vrstevnic

v obrázcích A až D:

Obr. 5.12:

Cvičení

1. Vyjádřete plošný obsah trojúhelníka daného obvodu 2p jako funkci jeho dvou stran

x a y.

5.2 Funkce více proměnných

243

2. Vyjádřete objem pravidelného čtyřbokého jehlanu jako funkci strany a jeho základny

a výšky h jeho boční stěny.

3. Vyjádřete výšku rotačního válce jako funkci jeho objemu V a pláště S.

4. Vypočítejte f (1,

1
2 ), f (−1, 2), je-li f (x, y) rovno

a)

px2y + y + 1, b) y

2−|x|

x2−|y| ,

c) arcsin(x + y).

5. Vypočítejte f (y, x, z), f (−x, −y, −y), f (1, 1, t), f (1,

y
x ,

x
y ), je-li f (x, y, z) = xyz +