Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

graff je v tomto případě podmnožina prostoru R

3, v jednoduchých případech plocha, a tu

lze graficky znázornit (použitím některé zobrazovací metody nebo pomocí matematického
software na počítači).

U funkcí více než dvou proměnných jistě nebudeme znázorňovat podmnožiny čtyř- a
vícerozměrných prostorů, v těchto situacích je výhodnější fyzikální interpretace.

Grafem funkce f (x, y) =

p1 − x2 − y2 z příkladu 5.11 je plocha o rovnici

z =

p

1 − x2 − y2, přičemž zřejmě platí z ≥ 0,

a to je horní polovina kulové plochy x2 + y2 + z2 = 1, z ≥ 0, s poloměrem 1.

Při sestrojování grafu funkce dvou proměnných je výhodné sestrojit řezy grafu funkce ro-
vinami rovnoběžnými se souřadnicovými rovinami nebo rovinami procházejícími některou
ze souřadných os.

Příklad 5.13. Máme vyšetřit graf funkce f (x, y) = y2 − x2.

Řešení. Zkoumejme řezy plochy o rovnici z = y2 − x2 rovinami z = k, k > 0. Tyto řezy

jsou popsány rovnicemi

 y2 − x2 = k,

z = k;

, speciálně pro k = 1 je řezem hyperbola o rovnici

 y2 − x2 = 1,

z = 1.

Je-li k = 0, dostaneme rovnici y2 − x2 = 0 neboli

 (y − x)(y + x) = 0,

z = 0;

; v tomto případě

je tedy řez složen ze dvou přímek y = x

a

y = −x ležících v rovině z = 0.

5.2 Funkce více proměnných

237

Stopa plochy v rovině x = 0, tedy její řez touto rovinou, je parabola

 z = y2,

x = 0.

Zkoumejme nyní řezy rovinami z = −k, k > 0. Tyto řezy jsou popsány rovnicemi
 x2 − y2 = k,

z = −k;

speciálně pro k = 1 je řezem hyperbola o rovnici

 y2 − x2 = −1,

z = −1.

Stopa plochy v rovině y = 0, tedy její řez touto rovinou, je parabola