Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

2 + y2 ≤ 1}, což

je uzavřený kruh se středem v počátku a s poloměrem 1.

5.2 Funkce více proměnných

235

Příklad 5.12. Vyšetříme přirozený definiční obor funkce

f (x, y) =

p

y(x2 − 4y2 − 1) +

1

ln(4 − x2 + 4y)

Zřejmě musí platit

y(x

2 − 4y2 − 1) ≥ 0

∧

4 − x

2 + 4y > 0

∧

4 − x

2 + 4y 6= 1

Křivka o rovnici x2 − 4y2 − 1 = 0 je rovnoosá hyperbola s reálnou osou x a asymptotami
y = ±

x
2 , první podmínku splňují ty body „uvnitřÿ hyperboly, které mají y-ovou souřadnici

kladnou a body „vněÿ hyperboly, které mají y-ovou souřadnici zápornou, a dále body na
hyperbole a ose x:

Obr. 5.2: Definiční obor funkce f (x, y) =

py(x2 − 4y2 − 1)

Křivka o rovnici 4−x2 +4y = 0 je parabola y +1 =

x2

4 , do definičního oboru logaritmu,

který je ve jmenovateli druhé funkce, padnou body nad touto parabolou. Funkce f (x, y) =
= ln(4 − x2 + 4y) ale vystupuje ve jmenovateli druhého sčítance - do definičního oboru
nepadnou body, ve kterých je ln(4 − x2 + 4y) = 0, tedy body na křivce 4 − x2 + 4y = 1,
což je parabola o rovnici y +

3
4 =

x2

4 :

Obr. 5.3: Definiční obor funkce f (x, y) =

1

ln(4−x2+4y)

Definiční obor zadané funkce dostaneme jako průnik definičních oborů obou sčítanců:

236

Diferenciální počet II.

Obr. 5.4: Definiční obor funkce f (x, y) =

py(x2 − 4y2 − 1) +

1

ln(4−x2+4y)

Analogicky jako u funkce jedné proměnné můžeme každé funkci f : Df → R, Df ⊆ R

n

přiřadit její graf. Tento pojem má názorný význam pro funkci dvou proměnných, kdy
definujeme

graff =

[x, y, z] ∈ R

3 | [x, y] ∈ D

f , z = f (x, y)

  ;