Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

f = f (x, y) v R

2, f = f(x, y, z) v R3.

Příklad 5.7. Objem V rotačního válce o poloměru r a výšce v je dán vzorcem

V = πr

2v.

Tímto vzorcem je každé dvojici čísel [r, v] jednoznačně přiřazeno číslo V – objem válce.
Je tedy tímto vzorcem definována funkce dvou proměnných V = V (r, v). I když výraz má
smysl pro libovolné hodnoty r, v, je přirozené vzít za definiční obor funkce množinu

[r, v] ∈ R

2 | r > 0, v > 0  .

Příklad 5.8. Gravitační pole hmotného bodu o hmotnosti M je charakterizováno gra-
vitačním (Newtonovým) potenciálem. Zvolíme-li v prostoru kartézskou soustavu sou-
řadnic tak, aby hmotný bod ležel v jejím počátku, je hodnota potenciálu U v bodě
P = [x, y, z] 6= [0, 0, 0] dána vzorcem

U =

−κM

px2 + y2 + z2

,

kde κ > 0 je tzv. gravitační konstanta. Jde zřejmě o funkci v R

3 .

Nechť se v tomto gravitačním poli pohybuje další hmotný bod o hmotnosti m. Stav
tohoto systému je určen uspořádanou šesticí (x1, x2, x3, p1, p2, p3) , kde první tři souřadnice
udávají polohu pohybujícího se bodu v prostoru v daném časovém okamžiku a poslední tři
souřadnice jsou souřadnicemi vektoru hybnosti v tomto časovém okamžiku. Uspořádané
šestice tvoří tzv. stavový prostor daného systému, je to tedy prostor R

6 . Kinetická energie

Ek systému ve stavu S = (x1, x2, x3, p1, p2, p3) je dána vzorcem

Ek(S) =

1

2m

(p

2
1 + p

2
2 + p

2
3).

234

Diferenciální počet II.

I když z tohoto vzorce je patrné, že Ek závisí pouze na třech proměnných, je nutno Ek
považovat za funkci na stavovém prostoru, tj. za funkci šesti proměnných, i když se zde
všechny proměnné efektivně nevyskytují.