Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
∞
P
n=0
anx
n má poloměr konvergence 3 a řada
∞
P
n=0
bnx
n má poloměr kon-
vergence 5, co můžeme říci o poloměru konvergence řady
∞
P
n=0
(an + bn)x
n?
Cvičení
1. Najděte obor konvergence mocninných řad:
a)
∞
P
n=0
n 5n xn,
b)
∞
P
n=0
x2n+1
(2n+1)!(2n+1) ,
c)
∞
P
n=1
(x+8)3n
n2
,
d)
∞
P
n=0
102n (2x − 3)n, e)
∞
P
n=1
(n−1)!xn
nn
,
f)
∞
P
n=1
xn
n
√
n ,
g)
∞
P
n=0
(x−2)n
n!
,
h)
∞
P
n=1
(x−1)n
n 3n
,
i)
∞
P
n=0
n (x + 1)n,
j)
∞
P
n=0
(−1)n
(x+4)n
n+2 ,
k)
∞
P
n=0
n! (x − 1)n,
l)
∞
P
n=0
n2+1
n3+1 (x + 2)
n.
2. Derivováním nebo integrováním vhodné řady najděte součty řad
a)
∞
P
n=1
(2n + 1) x2n, b)
∞
P
n=1
n xn−1,
c)
∞
P
n=1
(x−3)2n
2n
,
d)
∞
P
n=1
n xn−1
2n
,
e)
∞
P
n=1
n(n+1)
2
xn−1, f)
∞
P
n=1
n x −
1
2
n .
3. Vypočítejte následující integrály tak, že integrovanou funkci rozložíte do mocninné
řady, a to s přesností na tři desetinná místa:
a)
1
R
0
e−x
2
dx, b)
1
2
R
0
dx
1+x10 .
4.2 Mocninné řady
227
4. Pomocí operací s řadami pro známé funkce najděte Maclaurinovy rozvoje následu-
jících funkcí:
a)
x
2 − x
,
b) (1 − x) e−x,
c) cos2 x,
d) (1 − x)−2, e)
sin 3x + x cos 3x, f)
(1 + x) arctg x.
Výsledky
1. a) (−
1
5
,
1
5
), b) (−∞, ∞), c) h−9, −7i, d) (
299
200
,
301
200
), e) (−e, e), f) (−1, 1), g) (−∞, ∞), h) h−2, 4), i) (−2, 0), j) (−5, −3i,
k) {1}, l) h−3, −1);
2. a)
3x
2 −x4
(1−x2)2
, b)
1
(1−x)2
, c) −
1
2
ln |1 − 9x − 3)2|, d)
2
(2−x)2
, e)
1
(1−x)3
, f)
4x−2
(3−2x02
; 3) a) 0,747, b) 0,500;
4. a)
1
2
x +
1
4
x2 +
1
8
x3 +
1
16
x4 +
1
32
x5 + · · · , b) 1 − 2 ∗ x +
3
2
x2 −
2
3
x3 +
5
24
x4 −
1
20
x5 +
7
720
x6 − · · · , c) 1 − x2 +
1
3
x4 −
− 2
45
x6 +
1
315
x8 − · · · , d) 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + 5x4 + 6x5 + 7x6 + 8x7 + · · · , e) 4x − 9x3 +