Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
a
n
x
n + · · · =
∞
X
n=0
a
n
x
n.
Pomocí podílového kriteria určíme, že řada konverguje absolutně pro |x| < 1. Konvergence
v krajních bodech intervalu závisí na čísle a.
Pomocí již známých Taylorových řad můžeme rozkládat další funkce do řad pomocí do-
volených operací – substitucí, derivací resp. aritmetických operací:
Příklad 4.52. Rozviňte následující funkce do Maclaurinovy řady a určete jejich obor
konvergence:
a) f (x) =
1
√
1−x2
, b) f (x) = arctg x, c) ln
1+x
1−x
.
Řešení.
a) Položíme-li −x2 = t, dostaneme funkci
1
√
1−x2
=
1
√
1+t
= (1 + t)−
1
2
. Její
rozvoj do binomické řady je
(1 + t)
− 1
2
= 1 +
− 1
2
1
t +
− 1
2
2
t
2 +
− 1
2
3
t
3 + · · · +
− 1
2
n
t
n + · · · =
= 1 +
− 1
2
1!
t +
(−
1
2 ) · (−
3
2 )
2!
t
2 + · · · +
(−
1
2 ) · (−
3
2 ) · (−
5
2 ) · · · · · (−
2n−1
2
)
n!
t
n + · · · =
= 1 −
1
2
t +
3
22 2!
t
2 −
15
23 3!
t
3 + · · · + (−1)n
3 · 5 · · · · · (2n − 1)
2n n!
t
n + · · ·
na intervalu (−1, 1). Dosazením t = −x2 dostaneme hledanou Maclaurinovu řadu
1
√
1 − x2
= 1 +
1
2
x
2 +
3
22 2!
x
4 +
15
23 3!
x
6 + · · · +
3 · 5 · · · (2n − 1)
2n n!
x
2n + · · · ,
|x| < 1.
b) Derivace dané funkce je (arctg x)0 =
1
1+x2 , což je součet geometrické řady s kvocien-
tem −x2, tj. platí
1
1 + x2
= 1 − x
2 + x4 − · · ·
pro |x| < 1.
Podle věty o integraci řady dostaneme pro x ∈ (−1, 1)
arctg x =
Z
x
0
(1 − t
2 + t4 − · · · ) dt = x −
x3
3
+
x5
5
− · · · =
∞
X
n=0
(−1)
n x
2n+1
2n + 1
.
Vyšetříme krajní body konvergenčního intervalu x = ±1: