Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
=
1
1 + (x − 3)
=
∞
X
n=0
(−1)
n (x − 3)n
pro |x − 3| < 1, tj. x ∈ (2, 4),
1
x + 1
=
1
x − 3 + 3 + 1
=
1
4 + x − 3
=
1
4
1
1 +
x−3
4
=
1
4
∞
X
n=0
(−1)
n 1
4n
(x − 3)
n
pro
x − 3
4
< 1,
tj. x ∈ (−1, 7),
3
x2 − x − 2
=
1
x − 2
−
1
x + 1
=
∞
X
n=0
(−1)
n (x−3)n−
∞
X
n=0
(−1)
n
1
4n+1
(x−3)
n =
=
∞
X
n=0
(−1)
n 4
n+1 − 1
4n+1
(x − 3)
n =
3
4
−
15
16
x +
63
64
x
2 −
255
256
x
3 + · · ·
pro x ∈ (2, 4).
V krajních bodech konvergenčního intervalu řada diverguje – není splněna nutná
podmínka konvergence.
K nalezení Taylorových řad lze použít tento Maplet.
4.2 Mocninné řady
223
Pro zájemce
Exponenciální funkce ez
Vyšetřujme řadu
∞
P
n=0
zn
n!
pro z ∈ C.
Snadno se ukáže (pomocí podílového kriteria), že řada absolutně konverguje na celém C, tedy její součet je zde spojitou
funkcí. Označíme
exp z :=
∞
X
n=0
zn
n!
.
Počítejme derivaci této funkce:
(exp z)
0 =
∞
X
n=0
n
zn−1
n!
=
∞
X
n=1
n
zn−1
n!
=
∞
X
n=1
zn−1
(n − 1)!
=
∞
X
n=0
zn
n!
= exp z
Z příkladu 4.30 víme, že
exp (z1 + z2) =
∞
X
n=0
(z1 + z2)
n
n!
=
∞
X
n=0
zn
1
n!
·
∞
X
n=0
zn
2
n!
= exp z1 · exp z2
a analogicky
exp (kz) = exp z · exp z · . . . · exp z
|
{z
}
k×
= (exp z)
k
Dosadíme-li do definiční řady z = 0, dostaneme exp 0 = 1 a odtud
1 = exp 0 = exp (z − z) = exp z · exp (−z)
⇒
exp (−z) =
1
exp z
.
Přitom se dá ukázat, že platí
exp 1 =
∞
X
n=0
1
n!
= lim
n→∞
1
0!
+
1
1!
+
1
2!
+ · · · +
1
n!
= lim
n→∞
1 +
1
n
n
= e.
Proto budeme psát exp z = ez .
Vyjádříme pro t ∈ R výraz e
it – najdeme reálnou a imaginární složku:
e
it =
∞
X
n=0
(it)n
n!
=
∞
X
k=0
(it)2k
(2k)!
+
∞
X
k=0
(it)2k+1
(2k + 1)!
=
=
∞
X
k=0
i2kt2k
(2k)!
+ i
∞
X
k=0
i2kt2k+1
(2k + 1)!
=
∞
X
k=0
(−1)
k t
2k
(2k)!
+ i