Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

−6.

218

Nekonečné řady

Známe-li součet mocninné řady , můžeme určovat součty číselných řad pro všechna x

ležící uvnitř oboru konvergence – kruhu v C a intervalu v R. Chceme-li určit součet číselné
řady v krajním bodě konvergenčního intervalu v R, je třeba použít následující Abelovu
větu:

Věta 4.47. (Abelova) Nechť mocninná řada

∞

P

n=0

cn (x−x0)

n má poloměr konvergence r,

kde 0 < r < ∞ a nechť je konvergentní v krajním bodě x0+r (resp. x0−r) konvergenčního
intervalu. Pak součet s(x) této řady je funkce zleva spojitá v bodě x0 + r (resp. zprava
spojitá v bodě x0 − r).

Příklad 4.48. Vyjádřete funkci ln(1 + x) mocninnou řadou a odtud určete součet Leib-

nizovy řady

∞

P

n=1

(−1)n−1

1

n .

Řešení. Pro x ∈ (−1, 1) Platí

1

1 + x

= 1 − x + x

2 − x3 + · · · =

∞

X

n=0

(−x)

n =

∞

X

n=0

(−1)

n xn.

Odtud

ln(1 + x) =

Z

x

0

dt

1 + t

=

Z

x

0

(1 − t + t

2 − t3 + · · · ) dt =

= x −

x2

2

+

x3

3

− · · · =

∞

X

n=1

(−1)

n−1 x

n

n

.

Pro x = 1 dostaneme Leibnizovu řadu, která je (neabsolutně) konvergentní a podle Abe-
lovy věty je její součet

∞

X

n=1

(−1)n−1

n

= lim

x→1−

ln(1 + x) = ln 2.

Taylorovy řady

V tomto odstavci budeme řešit obrácenou úlohu, a to jak rozvinout danou funkci do
mocninné řady – tedy k dané funkci najít mocninnou řadu, které je součtem.

V diferenciálním počtu jsme uvedli Taylorovu větu, kde je funkce vyjádřena ve tvaru
polynomu a zbytku. Pro dostatečně mnohokrát diferencovatelnou funkci f jsme uvedli
vyjádření

f (x) = f (x0) +

f 0(x0)

1!

(x − x0) + · · · +

f (n)(x0)

n!

(x − x0)

n + R

n+1(x),

kde Rn+1(x) je Taylorův zbytek, pro který platí Rn+1(x) =

f (n+1)(ξ)