Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

a)

∞

P

n=1

(x−1)n

n

b)

∞

P

n=0

2n(x + 2)n c)

∞

P

n=0

2nn2x2n d)

∞

P

n=0

zn
2n , z ∈ C

Řešení.

a) Použijeme podílové kriterium pro vyšetření absolutní konvergence:

lim

n→∞

|cn+1(x − x0)n+1|

|cn(x − x0)n|

= lim

n→∞

|x − 1|n+1

n + 1

·

n

|x − 1|n

= |x − 1| lim

n→∞

n

n + 1

= |x − 1|;

tedy daná řada konverguje absolutně pro |x − 1| < 1. Pro |x − 1| > 1 diverguje,
protože zde není splněna nutná podmínka konvergence.
Situaci v krajních bodech konvergenčního intervalu vyšetříme tak, že hodnoty
x = 1 ± 1 do dané řady dosadíme:

• x = 2 :

∞

P

n=1

1

n diverguje

• x = 0 :

∞

P

n=1

(−1)n

n

konverguje neabsolutně

Tedy obor konvergence dané řady je interval h0, 2 ); konvergence pro x = 0 je neab-
solutní.

b) Použijeme odmocninové kriterium:

lim

n→∞

n

p|c

n(x − x0)

n| = lim

n→∞

n

p

2n|x + 2|n = 2|x + 2|;

Tedy řada konverguje absolutně pro 2|x + 2| < 1

⇒

|x + 2| < 1

2 .

V krajních bodech x = −2 ±

1
2 není splněna nutná podmínka konvergence:

214

Nekonečné řady

x = −2 ±

1
2 :

∞

P

n=0

2n · (−2 ±

1
2 + 2)

n =

∞

P

n=0

(±1)n diverguje.

Tedy obor konvergence dané řady je interval −

5
2 , −

3
2

 .

c) Použijeme podílové kriterium:

lim

n→∞

2n+1(n + 1)2x2n+2

2nn2x2n

= 2x

2 lim

n→∞

 n + 1

n

= 2x

2;

Řada konverguje absolutně pro 2x2 < 1

⇒

|x| < 1

√

2

. V krajních bodech intervalu

i pro |x| >

1

√

2

není splněna nutná podmínka konvergence.

Poznamenejme, že řada má tvar

∞

P

n=0

2nn2x2n = x2 + 4x4 + 9x6 + · · · , tedy posloupnost

koeficientů má každý druhý člen nulový: (cn)

∞
n=0 = (0, 0, 1, 0, 4, 0, 9, 0, . . . ).

d) Vyšetříme absolutní konvergenci pomocí odmocninového kriteria – vypočítáme li-

mitu n-té odmocniny n-tého členu řady: