Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
lim sup n
√
an > 1, řada diverguje;
• podílové:
je-li
lim
n→∞
an+1
an
< 1, řada konverguje,
lim
n→∞
an+1
an
> 1, řada diverguje;
pro neabsolutní konvergenci jsme uvedli kriterium, které rozhodne o konvergenci tzv.
alternující řady – řady, jejíž členy pravidelně střídají znaménka:
• Leibnizovo kriterium:
alternující řada
∞
P
n=1
(−1)n bn, kde bn > 0, konverguje,
platí-li lim
n→∞
bn = 0 a (bn)
∞
n=1 je nerostoucí posloupnost.
4.1 Číselné řady
209
Dále jsme vyšetřovali vlastnosti nekonečných řad a operace s nekonečnými řadami;
uvedli jsme následující pravidla:
je-li
∞
P
n=1
an = a a
∞
P
n=1
bn=b, tedy řady jsou konvergentní, potom
• součet řady se nezmění, jestliže v ní sdružíme do závorek skupiny o konečně
mnoha sčítancích,
• řadu můžeme násobit číslem člen po členu:
∞
P
n=1
k an = k
∞
P
n=1
an = k a,
• dvě řady můžeme sečíst člen po členu:
∞
P
n=1
(an + bn) =
∞
P
n=1
an +
∞
P
n=1
bn = a + b;
je-li
∞
P
n=1
an = a a
∞
P
n=1
bn = b a řady jsou absolutně konvergentní, potom
• součet řady se nezmění, jestliže v ní libovolně přerovnáme členy,
• dvě řady můžeme násobit člen po členu:
∞
P
n=0
an
∞
P
n=0
bn
=
∞
P
n=0
cn = a · b,
kde cn = a0bn + a1bn−1 + a2bn−2 + · · · + anb0;
tedy absolutně konvergentní řady mají všechny vlastnosti, které mají součty konečně
mnoha sčítanců.
Na závěr kapitoly jsme se věnovali problému, jaké chyby se dopustíme, jestliže součet
konvergentní řady nahradíme součtem několika jejích prvních členů. Je-li
∞
P
n=1
an =
=
n
P
k=1
ak + Rn, Rn je zbytek po n-tém členu řady, platí následující vztahy :
• je-li daná řada alternující a |an| = bn, potom |Rn| < bn+1,
• jestliže
an+1
an
≤ q < 1
∀n ∈ N, potom |Rn| ≤ |an|