Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

4.1 Číselné řady

203

Příklad 4.26. Leibnizova řada

∞

X

n=1

(−1)

n−1 1

n

= 1 −

1

2

+

1

3

−

1

4

+ · · ·

je konvergentní; označme její součet s. Dále je

s

2

=

∞

X

n=1

(−1)

n−1

1

2n

=

1

2

−

1

4

+

1

6

−

1

8

+ · · · .

Přepišme obě řady v následujícím tvaru (do druhé řady vložíme nuly, součet se nezmění):

s = 1 −

1

2

+

1

3

−

1

4

+

1

5

−

1

6

+

1

7

−

1

8

+ · · ·

s

2

= 0 +

1

2

+ 0 −

1

4

+ 0 +

1

6

+ 0 −

1

8

+ · · ·

Sečtením těchto konvergentních řad dostaneme konvergentní řadu:

3

2

s = 1 +

1

3

−

1

2

+

1

5

+

1

7

−

1

4

+ · · · .

Podrobnějším vyšetřením lze ukázat, že vzniklá řada obsahuje právě všechny členy Leib-
nizovy řady (a žádné jiné), ale v jiném pořadí.

Říkáme, že řada vznikla přerovnáním Leibnizovy řady; přitom přerovnáním řady o

součtu s jsme dostali řadu o součtu

3
2 s.

Je tedy vidět, že komutativní zákon nelze rozšířit na konvergentní řady. Poznamenejme,
že se dá ukázat platnost tvrzení:

a) Libovolným přerovnáním absolutně konvergentní řady dostaneme absolutně konver-

gentní řadu o stejném součtu.

b) Je-li řada

P an neabsolutně konvergentní, pak vhodným přerovnáním této řady lze

dostat divergentní řadu, popř. konvergentní řadu s libovolným předem daným souč-
tem.

Násobení řad

Pro násobení součtů o konečném počtu členů platí, jak známo, distributivní zákon –
dva součty o konečném počtu členů násobíme podle tohoto zákona „člen po členuÿ, tj.
tak, že násobíme každý člen prvního z nich každým členem druhého a takto vzniklé
součiny sečteme. Vzniká otázka, za jakých podmínek a do jaké míry lze platnost tohoto
zákona rozšířit i na součty o nekonečném počtu členů, tj. na číselné řady. K tomuto účelu
definujeme nejdříve součin řad:

Definice 4.27. Cauchyovským součinem řad