Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Věta 4.5. Je-li řada
∞
P
n=1
an konvergentní a má-li součet s, pak řada
∞
P
k=1
bk je také kon-
vergentní a má součet s.
196
Nekonečné řady
Věta obrácená k předchozí větě neplatí. Konverguje-li řada
∞
P
k=1
bk, může být řada
∞
P
n=1
an
divergentní, jak ukazuje následující příklad:
Příklad 4.6. Řada
∞
X
k=1
bk = [3 + (−3)] + [3 + (−3)] + · · ·
je konvergentní, neboť její posloupnost částečných součtů ( ¯
sk) = (0). Ale řada
∞
X
n=1
an = 3 + (−3) + 3 + (−3) + · · · ,
která vznikne z dané řady odstraněním závorek je divergentní, neboť příslušná posloupnost
částečných součtů nemá limitu (osciluje). V konvergentních nekonečných řadách „odstra-
něníÿ závorek může narušit konvergenci.
Násobíme-li všechny členy řady
∞
P
n=1
an číslem k, dostaneme řadu
∞
P
n=1
k an, pro kterou platí:
Věta 4.7. Je-li řada
∞
P
n=1
an konvergentní a má-li součet s, pak řada
∞
P
n=1
k an, kde k je
libovolná konstanta, je rovněž konvergentní a má součet ¯
s = k s.
Důkaz věty naleznete v části Pro zájemce na konci kapitoly.
Předchozí věta je rozšířením distributivního zákona na nekonečný počet sčítanců.
Příklad 4.8. Je-li |q| < 1, platí
∞
P
n=1
a · qn−1 =
a
1−q .
Poznámka: Je-li řada
∞
P
n=1
an divergentní a je-li k 6= 0, je
∞
P
n=1
k ·an také divergentní (proč?)
Věta 4.9. Jsou-li řady
∞
P
n=1
an = A,
∞
P
n=1
bn = B konvergentní, je konvergentní i řada
∞
P
n=1
(an + bn) a má součet s = A + B.
Důkaz věty je naznačen v části Pro zájemce na konci kapitoly.
Příklad 4.10. Máme najít součet řady
∞
P
n=0
1
2n +
2
3n
.
Řešení. Platí
∞
P
n=0
1
2n =
1
1−
1
2
= 2,
∞
P
n=1
2
3n = 2 ·
1
1−
1
3
= 3, tedy
∞
P
n=0
1
2n +
2
3n
=
∞
P
n=0
1
2n + 2
∞
P
n=0
1
3n = 5.
4.1 Číselné řady