Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
ξ→1−
arcsin ξ =
π
2
.
b)
Buď
α 6= 1.
Potom
Z
b
a
dx
(x − a)α
= lim
ξ→a+
Z
b
ξ
dx
(x − a)α
= lim
ξ→a+
(b − a)1−α − (ξ − a)1−α
1 − α
=
=
(b − a)1−α
1 − α
pro α < 1
∞
pro α > 1
;
Z
b
a
dx
x − a
= lim
ξ→a+
Z
b
ξ
dx
x − a
= lim
ξ→a+
[ln(x − a)]
b
ξ =
= lim
ξ→a+
[ln(b − a) − ln(ξ − a)] = ∞.
Celkem tedy
b
R
a
dx
(x − a)α
konverguje pro α < 1 a diverguje pro α ≥ 1.
190
Integrální počet
Obecná definice nevlastního integrálu
V předchozích úvahách jsme vyšetřovali pouze ty nevlastní integrály, které měly singula-
ritu v jedné mezi. Přirozeným způsobem lze tyto úvahy zobecnit:
Definice 3.53. Nechť je funkce f definovaná v intervalu (a, b), kde a může být −∞ a
b může být ∞, s výjimkou konečně mnoha bodů, v jejichž okolí je neohraničená. Nechť
existují čísla c1 < c2 < · · · < cn z intervalu (a, b) tak, že integrály
Z
c1
a
f (x) dx,
Z
c2
c1
f (x) dx,
. . . ,
Z
b
cn
f (x) dx
mají singularitu pouze v jedné mezi a konvergují. Potom definujeme
Z
b
a
f (x) dx =
Z
c1
a
f (x) dx +
Z
c2
c1
f (x) dx + · · · +
Z
b
cn
f (x) dx,
a říkáme také, že integrál nalevo konverguje.
Máme vypočítat integrál
R ∞
−∞ f (x) dx pro funkci f v následujícím obrázku. Integrál
má zřejmě singularity v horní a dolní mezi, a dále v bodech a a b , v jejichž okolí je
funkce neohraničená. Podle předchozí definice máme integrál vyjádřit jako součet takových
integrálů, aby každý z nich měl singularitu vždy v jedné mezi – zvolíme body c ∈ (−∞, a)
a d ∈ (a, b) a potom
Z
∞
−∞
f (x) dx =
Z
c
−∞
f (x) dx +
Z
a
c
f (x) dx +
Z
d
a
f (x) dx +
Z
b
d
f (x) dx +
Z
∞
b
f (x) dx.