Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
5
R
0
f (x) dx pomocí čísel A1, A2, A3.
5. Ukažte, že platí následující tvrzení: Jsou-li f a g dvě funkce po částech spojité na
ha, bi takové, že pro všechna x ∈ ha, bi platí f (x) ≤ g(x), potom plošný obsah
množiny M = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, f (x) ≤ y ≤ g(x)} vypočítáme podle vzorce
P =
b
R
a
[g(x) − f (x)] dx.
6. V čem se liší použití metody per partes a substituční metody při výpočtu určitých
integrálů od použití těchto metod při výpočtu neurčitých integrálů?
7. Užitím vhodné substituce ukažte, že platí tvrzení z věty 3.30:
a
R
−a
S(x) dx = 2
a
R
0
S(x) dx;
a
R
−a
L(x) dx = 0,
kde S (resp. L) je sudá (resp. lichá) funkce.
8. Ukažte, že pro spojitou funkci f periodickou s periodou T platí
a+T
R
a
f (x) dx =
T
R
0
f (x) dx.
9. Najděte všechny chyby v následujícím „výpočtuÿ (výsledek je správně!):
2
R
0
x sin x2 dx = |t = x2| =
2
R
0
(sin t) x dx =
2
R
0
(sin t)
1
2 dt =
−1
2 cos t
2
0
=
=
−1
2 cos x
22
0
=
1
2 (1 − cos 4).
184
Integrální počet
10. Bez výpočtu daných integrálů rozhodněte, který z nich je větší:
a)
1
R
−1
x2 dx
a
1
R
−1
x4 dx, b)
2
R
1
ex
2
dx
a
2
R
1
ex dx.
Cvičení
1. Vypočítejte následující určité integrály
a)
2
R
1
(x2 − 3x + 2) dx, b)
3
R
0
|1 − 3x| dx,
c)
−2
R
−4
1
x dx,
d)
2
R
0
2x − 3
x − 3
dx,
e)
−3
R
−4
1
x2 − 4
dx,
f)
1
R
0
1
2x2 + 11x + 12
dx,
g)
2
R
1
x
x2 + 3x + 2
dx,
h)
3
R
0
( 3
√
x +
√
3x) dx,
i)
1
√
2
R
0
1
√
1 − x2
dx,
j)
1
R
0
(ex + 1)3 e2x dx,
k)
√
e
R
1
1
x
p
1 − ln
2 x
dx, l)
− π
4
R
− π
2
cos3 x
3
√
sin x
dx,
m)
π
3
R
0
tg x dx,
n)
π
R
0
p
sin x − sin
3 x dx,
o)
1
R
0
√
1 + x dx,
p)
1
R
0
√
x
1 +
√
x
dx,
q)
2
R
1
7
3
√
x2
3 +
3
√
x2
dx, r)
3
R
1
1
x
√
x2 + 5x + 1
dx,
s)
1
R
0
x e−x dx,