Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

ϕ0(t) = r (1 − cos t), ψ0(t) = r sin t, takže je

L =

Z

2π

0

q

r2(1 − cos t)2 + r2 sin

2 t dt = r

Z

2π

0

√

2 − 2 cos t dt =

= 2r

Z

2π

0

r

1 − cos t

2

dt = 2r

Z

2π

0

sin

t

2

dt = 2r

−2 cos

t

2

2π

0

= 8r.

Pro zájemce

Důkaz věty o primitivní funkci jako funkci horní meze:

Φ(x + h) − Φ(x)

h

=

1

h

Z

x+h

x

f (t) dt.

V intervalu hx, x + hi je funkce f spojitá, tedy podle věty o střední hodnotě existuje ξ ∈ hx, x + hi tak, že

1

h

Z

x+h

x

f (t) dt = f (ξ) = f (x + ϑh), 0 < ϑ < 1.

Odtud plyne, že

Φ

0(x) = lim

h→0

Φ(x + h) − Φ(x)

h

= lim

h→0

f (x + ϑh) = f (x).

Shrnutí

V této kapitole jsme zavedli pojem určitého integrálu z ohraničené funkce na intervalu
ha, bi; definovali jsme postupně

• dělení intervalu ha, bi:

systém intervalů D = {hxi−1, xii | i = 1, . . . , n}, jejichž

sjednocením je interval ha, bi a průnik libovolných dvou z těchto intervalů je
nanejvýš koncový bod, přičemž x0 = a, xn = b,

• normu dělení:

max(xi −xi−1), tj. délka nejdelšího z intervalů, které tvoří dělení

daného intervalu,

• dělení intervalu ha, bi s vybranými body:

v každém intervalu hxi−1, xii je vy-

brán bod ξi,

• integrální součet funkce f příslušný dělení D:

S(D, f ) =

n

P

i=1

f (ξi)(xi − xi−1),

• určitý integrál z funkce f od a do b:

číslo, které lze s libovolnou (předem

zvolenou) přesností aproximovat pomocí integrálních součtů, neboli limita inte-
grálních součtů při normě dělení jdoucí k nule.

182

Integrální počet

Pro funkci f nezápornou na intervalu ha, bi znamená

b

R

a

f (x) dx obsah plochy ohrani-

čené shora grafem funkce f , zdola osou x a po stranách přímkami x = a a x = b. Pro
funkci nabývající kladných i záporných hodnot je tento integrál roven rozdílu obsahů
ploch nad a pod osou x.