Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
F (x) =
Z
x
0
f (x) dx.
Aproximujme přírůstek této funkce při změně x na x + h, tedy výraz F (x + h) − F (x)
pomocí obsahu obdélníka (vybarveného tmavěji), který je zřejmě roven součinu f (x) · h;
je tedy
F (x + h) − F (x)
.
= f (x) · h,
neboli
f (x)
.
=
F (x + h) − F (x)
h
.
Odtud limitním přechodem pro h → 0 dosta-
neme
f (x) = lim
h→0
F (x + h) − F (x)
h
= F
0(x).
Obr. 3.8: Fundamentální věta
174
Integrální počet
Tento pozoruhodný výsledek, který spojuje výpočet derivace (tedy směrnice) s výpo-
čtem plošného obsahu, se nazývá fundamentální věta kalkulu (tj. diferenciálního a inte-
grálního počtu).V tomto odstavci naznačený vztah odvodíme přesně.
Definice 3.34. Buď f : ha, bi → R integrovatelná funkce. Funkcí horní meze nazý-
váme funkci Φ : ha, bi → R definovanou předpisem
Φ(x) =
Z
x
a
f (t) dt.
Obdobně funkcí dolní meze nazýváme funkci Ψ : ha, bi → R definovanou předpisem
Ψ(x) =
Z
b
x
f (t) dt.
Věta 3.35. Je-li funkce f : ha, bi → R v okolí bodu x spojitá, má funkce horní meze
Φ : ha, bi → R v bodě x derivaci a platí Φ
0(x) = f (x), tj. Φ je primitivní funkce k f .
Důkaz naleznete v části Pro zájemce na konci kapitoly.
Ve vedlejším obrázku je modře graf
funkce F a červeně graf funkce f , při-
čemž platí
F (x) =
x
Z
0
f (t) dt;
tedy například F (a) – délka červené
úsečky – je rovna obsahu červeně vyšra-
fované oblasti; dále je vidět, že F (b) = 0,
tedy obsah červeně vyšrafované oblasti,
je stejný jako obsah černě vyšrafované
oblasti, která je pod osou x – obsahy se
odečtou.
Obr. 3.9: Primitivní funkce jako funkce horní
meze
Příklad 3.36. Najděme lokální extrémy funkce