Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

P =

Z

b

a

[(f (x) + c) − (g(x) + c)] dx =

Z

b

a

f (x) dx.

.

Pro výpočet a znázornění obsahu části roviny mezi grafy slouží tento maplet.

Objem tělesa

Buď dáno těleso (uzavřená oblast M ⊂ R

3), jehož průmětem do osy x je interval ha, bi.

Nechť jeho řez rovinou o rovnici x = x0 má obsah u(x0). Předpokládejme, že u je spojitá
funkce v intervalu ha, bi. Buď D dělení intervalu ha, bi, pak S(D, u) značí přibližnou
hodnotu objemu našeho tělesa. Zhruba řečeno, tato hodnota bude tím blíže ke skutečné
hodnotě objemu, čím bude dělení jemnější. Proto je přirozené definovat objem tělesa jako

lim

νD→0

S(D, u) =

Z

b

a

u(x) dx.

3.4 Aplikace určitého integrálu

179

Příklad 3.45. V rovině z = c leží kružnice
o rovnici x2 +y2 = r2. Je-li −r < x0 < r, pro-
tne rovina o rovnici x = x0 kružnici ve dvou
bodech (pro x = ±r v jednom bodě), osu x
v jednom bodě. Tyto tři (dva) body spojíme
úsečkami (úsečkou). Máme vypočítat objem
takto vzniklého tělesa.

Řešení.

u(x) = c

√

r2 − x2, x ∈ h−r, ri,

V =

Z

r

−r

c

√

r2 − x2 dx = 2c

Z

r

0

√

r2 − x2 dx =

= 2c

πr2

4

=

1

2

πr

2c.

Obr. 3.11: Objem tělesa

Objem rotačního tělesa

Buď f spojitá funkce v intervalu ha, bi, uvnitř tohoto intervalu kladná. Předpokládejme,
že část roviny omezená čarami o rovnicích x = a, x = b, y = 0, y = f (x) rotuje kolem osy
x. Vznikne rotační těleso, jehož průmět do osy x je interval ha, bi. Obsah řezu rovinou o
rovnici x = x0 je obsah kruhu o poloměru f (x0), tedy objem rotačního tělesa vypočítáme
podle vzorce

V = π

Z

b

a

[f (x)]

2 dx.

Příklad 3.46. Vypočítáme objem koule.

Zde je f (x) =

√

r2 − x2, x ∈ h−r, ri.