Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Φ(x) =
x
Z
0
sin t
t
dt, x > 0.
Řešení.
Φ0(x) = sin x
x , Φ
0(x) = 0 pro sin x = 0, tj. x = kπ, k ∈ N,
Φ0(x) > 0 pro x ∈ (2kπ, (2k + 1)π), k ∈ N,
Φ0(x) < 0 pro x ∈ ((2k − 1)π, 2kπ), k ∈ N,
3.3 Určitý integrál
175
Obr. 3.10: Grafy funkcí
sin x
x
a
x
R
0
sin t
t
dt
Tedy funkce Φ má maxima v bodech x = (2k + 1)π, minima v bodech x = 2kπ pro
k ∈ N.
Nyní odvodíme vzorec pro výpočet určitého integrálu ze spojité funkce:
Víme, že je-li f spojitá na ha, bi , pak funkce horní meze Φ je její primitivní funkcí. Jestliže
je F libovolná primitivní funkce k funkci f na ha, bi, jistě platí
Φ(x) = F (x) + c.
Konstantu c snadno vypočteme, položíme-li x = a. Pak platí
Φ(a) =
Z
a
a
f (t) dt = 0 = F (a) + c
⇒ c = −F (a).
Tedy
Φ(x) = F (x) − F (a)
a speciálně pro x = b dostáváme důležitý výsledek Φ(b) = F (b) − F (a), tj.
Z
b
a
f (x) dx = F (b) − F (a),
který jsme ovšem odvodili pouze pro spojitou funkci f . Tento vztah patří k základním
tvrzením matematické analýzy a nazývá se Newton-Leibnizova věta.
Newton-Leibnizova věta
Věta 3.37. (Newton-Leibnizova) Nechť f je funkce spojitá v ha, bi.
Jestliže v ha, bi platí
F
0(x) = f(x), tj.
Z
f (x) dx = F (x) + c,
potom
Z
b
a
f (x) dx = F (b) − F (a).
176
Integrální počet
Rozdíl
F (b) − F (a)
označujeme symbolem
[F (x)]
b
a .
Píšeme
Z
b
a
f (x) dx = [F (x)]
b
a .
Příklad 3.38.
Z
π
2
0
cos
2x +
π
4
dx =
1
2
sin
2x +
π
4
π
2
0
=
1
2
sin
5π
4
− sin
π
4
= −
√
2
2
.
Příklad 3.39.
Z
π
−π
sin ax sin bx dx =
1
2
Z
π
−π
[cos(a − b)x − cos(a + b)x] dx =
=
1
2
1
a − b
sin(a − b)x −
1