Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

Formulovali jsme postačující podmínku pro existenci určitého integrálu:

• je-li f po částech spojitá na intervalu ha, bi (tj. má-li zde nanejvýš konečně

mnoho bodů nespojitosti 1. druhu), potom je zde integrovatelná, tedy

b

R

a

f (x) dx

existuje.

Uvedli jsme některé vlastnosti určitého integrálu:

• linearita:

b

R

a

(α f (x) + β g(x)) dx = α

b

R

a

f (x) dx + β

b

R

a

g(x) dx,

• aditivita přes interval:

pro a < c < b je

b

R

a

f (x) dx =

c

R

a

f (x) dx +

b

R

c

f (x) dx.

Pro výpočet určitého integrálu jsme odvodili

• Newton-Leibnizův vzorec:

b

R

a

f (x) dx = [F (x)]

b
a = F (b) − F (a), je-li F některá

primitivní funkce k funkci f ,

• metodu per partes v určitém integrálu:

postup je stejný jako u neurčitého

integrálu (dosazujeme meze do u v),

• substituční metodu v určitém integrálu:

analogicky jako při výpočtu primitivní

funkce, pouze je třeba vypočíst meze pro nové proměnné.

V závěru kapitoly jsme se věnovali geometrickým aplikacím určitého integrálu; uvedli
jsme vzorce pro:

• objem rotačního tělesa, které vznikne rotací části roviny omezené čarami o rov-

nicích x = a, x = b, y = 0, y = f (x) kolem osy x:

V = π

b

R

a

[f (x)]2 dx,

• délku křivky L, která je grafem funkce f v intervalu ha, bi:

L

=

=

b

R

a

p1 + [f0(x)]2 dx,

• délku křivky zadané parametrickými rovnicemi x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ hα, βi:

L =

β

R

α

p[ϕ0(t)]2 + [ψ0(t)]2 dt.

3.4 Aplikace určitého integrálu

183

Otázky a úlohy

1. Jak definujeme určitý integrál z funkce f od a do b?

2. Jaký je jeho geometrický význam?

3. Jak tento integrál počítáme?

4. A1, A2, A3 v následujícím obrázku označuje obsah příslušné části roviny ome-

zené grafem funkce f a osou x. Vyjádřete