Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
a + b
sin(a + b)x
π
−π
= 0; a, b ∈ Z, a 6= b.
Metoda per partes pro určité integrály
Ze vztahu pro integraci per partes pro neurčité integrály okamžitě vyplývá
Z
b
a
u(x) v
0(x) dx = [u(x) v(x)]b
a −
Z
b
a
u
0(x) v(x) dx.
Příklad 3.40. Máme vypočítat integrál
I =
Z
2π
0
e
x
2
sin 2x dx.
Řešení.
I =
u = sin 2x
u0 = 2 cos 2x
v0 = e
x
2
v = 2e
x
2
=
2e
x
2
sin 2x
2π
0
− 4
Z
2π
0
e
x
2
cos 2x dx =
=
u = cos 2x
u0 = −2 sin 2x
v0 = e
x
2
v = 2e
x
2
= −4
2e
x
2
cos 2x
2π
0
+ 4
Z
2π
0
e
x
2
sin 2x dx
=
= −4
2 (e
π cos 4π − 1) + 4
Z
2π
0
e
x
2
sin 2x dx
.
Dostali jsme vztah
I = 8(1 − e
π ) − 16 I,
tedy
I =
8
17
(1 − e
π ).
Viděli jsme, že použití metody per partes v určitém integrálu je analogické použití
této metody při hledání primitivních funkcí, pouze do u v hned dosazujeme meze. To
může výpočet podstatně zjednodušit, jak jsme viděli v předchozím příkladu, kdy hodnota
u v v obou mezích byla nula.
3.3 Určitý integrál
177
Metoda substituce pro určité integrály
Věta 3.41.
1. Jestliže funkce f ◦ g, g0 jsou spojité na intervalu ha, bi, potom
Z
b
a
f [g(x)] g
0(x) dx =
Z
g(b)
g(a)
f (t) dt,
2. jestliže f je spojitá na ha, bi a x = g(t) je monotonní funkce se spojitou derivací a
oborem hodnot ha, bi, potom
Z
b
a
f (x) dx =
Z
g−1(b)
g−1(a)
f [g(t)] g
0(t) dt.
Postup při užití substituční metody v určitém integrálu je opět analogický, jako při
výpočtu primitivních funkcí. Pouze je třeba vypočítat nové meze (pro nové proměnné);
to ovšem na druhé straně přináší výhodu v tom, že nemusíme na závěr zpětně dosazovat
substituční funkci.
Příklad 3.42.
Z
e
1
ln x
x
dx =
x = et
x = 1 ⇒ t = 0
dx = et dt x = e ⇒ t = 1