Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Dále definujeme
a
R
b
f (x) dx = −
b
R
a
f (x) dx, speciálně tedy
a
R
a
f (x) dx = −
a
R
a
f (x) dx = 0.
Poznámky k definici:
a) Ve výrazu
R b
a f (x) dx se a nazývá dolní mez integrálu, b horní mez, f integrand,
x integrační proměnná.
b) Pro integrační proměnnou můžeme volit libovolné označení:
Z
b
a
f (x) dx =
Z
b
a
f (t) dt =
Z
b
a
f (ξ) dξ atd.
c) Určitý integrál je číslo. Pro funkci nezápornou na intervalu ha, bi vyjadřuje obsah
plochy pod grafem funkce f a nad osou x. Pro funkci, která na intervalu ha, bi nabývá
i záporných hodnot, vyjadřuje rozdíl obsahů ploch nad a pod osou x (viz následující
obrázek; čísla ξi jsou vybrána vždy uprostřed příslušného intervalu).
Obr. 3.4: Integrální součet funkce (x + 1) sin x
Definice integrálu jistě připomíná definici limity. Skutečně jde o jistý druh limity inte-
grálních součtů pro normu dělení jdoucí k nule, která je obecnější než limita posloupnosti.
Pro tuto limitu platí obdobná pravidla jako pro limity, se kterými jsme se již setkali: při
limitních přechodech se zachovávají součty, součiny, limita je nejvýš jedna. Můžeme psát
Z
b
a
f (x) dx =
lim
ν(D)→0
S(D, f ).
170
Integrální počet
Obr. 3.5: Integrální součty funkce f (x) = x4 ln x pro n = [9, 16, 25, 36, 49, 64]
Věta 3.28. (O existenci určitého integrálu) Má-li ohraničená funkce f na uzavře-
ném intervalu ha, bi pouze konečně mnoho bodů nespojitosti, pak existuje určitý integrál
b
R
a
f (x) dx.
Poznámka: Má-li funkce f na intervalu ha, bi pouze konečně mnoho bodů nespojitosti,
které jsou 1. druhu, říkáme, že je po částech spojitá na tomto intervalu. Podle předchozí
věty je funkce po částech spojitá na ha, bi na tomto intervalu integrovatelná.