Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

√

1 + x2 +

x

√

1+x2

ln |x +

√

1 + x2|, f)

x ln |x|

√

1−4x2

− 1

2

arcsin 2x,

g) x − arctg x +

1
2

[(1 + x2) arctg x − x] ln(1 + x2), h) −(cotg x) ln | cos x| − x, i) x − e−x arcsin ex − ln(1 +

√

1 + e2x), j)

1
2

ln

x

2

1+x2

− 1

x

arctg x, k)

(x

2 −1) arctg x+x

4(1+x2

, l)

1
8

ln

x−1
x+1

− 1

2

 1

2

+

1

x2−1

arctg x;

8. a) f (x) = 6x2 + x + 1, b) f (x) =

2
3

x3 − 5x − 1;

9. s =

1
3

t3 −

3
2

t2 + 4t, nikdy;

10. s =

1

12

t4 −

13

6

t2 + 4t, nalevo pro t < −4 a t ∈ (1, 3);

11. 2,5 s, 25 m.

3.3

Určitý integrál

Motivaci pro pojem určitého integrálu dostaneme, uvažujeme-li problém výpočtu obsahu
plochy pod grafem (nezáporné) funkce, definované na nějakém intervalu; tedy plošného
obsahu obrazce, který vznikne z obdélníku nahrazením jeho horní strany grafem nějaké
funkce. Obsah této plochy se budeme snažit vypočítat jejím přibližným nahrazením ob-
délníky, jejichž základny budou dohromady tvořit základnu původního obrazce, tedy in-
terval, na němž je shora ohraničující funkce definována. Tento mlhavě nastíněný postup
upřesníme tak, že postupně zavedeme potřebné pojmy.

Dělení intervalu

Mějme dána čísla a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b.
Množinu intervalů

D = {hx0, x1i, hx1, x2i, ..., hxn−1, xni}

nazýváme dělením intervalu ha, bi, body x0, ..., xn dělícími body. Číslo

ν(D) = max(x1 − x0, x2 − x1, ... , xn − xn−1)

nazveme normou dělení D.
Je-li D dělení intervalu ha, bi a pro každé i = 1, 2, ..., n jsou vybrány body ξi tak, že
ξi ∈ hxi−1, xii, pak dělení D nazveme dělením s vybranými body.
V dalším budeme uvažovat jen dělení s vybranými body a budeme hovořit pouze o dělení.