Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

x =

a

sin t

nebo x =

a

cos t

R R(cos x, sin x) dx

tg

x

2 = t

sin x = t,

R lichá v kosinu

cos x = t,

R lichá v sinu

tg x = t,

R sudá v sinu a kosinu

R R(tg x) dx

t = tg x

R R(ex) dx

t = ex

Uvedené substituce převedou integrál daného typu na integrál z racionální funkce R(t).

Racionální lomené funkce pro integraci rozkládáme na parciální zlomky.

3.2 Integrační metody

163

Otázky a úlohy

1. Co je to primitivní funkce a co neurčitý integrál?

2. Čemu se rovná

R f 0(x) dx a čemu

R f (x) dx

0

?

3. Formulujte vztah pro integraci per partes.

4. Označme In =

R lnn x dx. Užitím metody per partes ukažte, že pro n > 1 platí

In = x ln

n x − n I

n−1.

5. S použitím předchozího vzorce a výsledku příkladu 3.11 stanovte

R ln3 x dx.

6. Popište metodu substituce v neurčitém integrálu.

7. Vypočtěte

R g3(x) g0(x) dx.

8. Jmenovatel jisté racionální lomené funkce je tvaru (x2 + 1)2(x2 + 2x + 2)3. Kolik

neurčitých koeficientů budeme hledat při rozkladu této funkce na parciální zlomky?
Jaký tvar bude mít tento rozklad?

9. Integrujeme parciální zlomek tvaru

M x+N

ax2+bx+c . Jakého typu bude primitivní funkce?

(Tedy bude to polynom, racionální lomená funkce, exponenciální funkce, logaritmus,
arkus sinus, arkus tangens, . . . ?)

10. Eulerovy substituce pro integrály obsahující odmocninu z kvadratického trojčlenu,

tedy

√

ax2 + bx + c, jsou dvě – pro případ a > 0 a c ≥ 0. Platí-li a > 0 a současně

c ≥ 0, která Eulerova substituce bude vhodnější?

11. Integrál

R sin3 x cos3 x dx můžeme vypočítat všemi trigonometrickými substitucemi.

Transformujte tento integrál pomocí všech těchto substitucí a dále zadaný integrál
upravte pomocí součtového vzorce sin 2x = 2 sin x cos x. Porovnejte všechny vzniklé
integrály a nejjednodušší vypočítejte.