Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Integrace trigonometrických funkcí
Při použití trigonometrické substituce na integrál z iracionální funkce jsme pochopitelně
dostali racionální lomenou funkci v sinech a kosinech – v tomto odstavci naznačíme, jak
se takové integrály počítají.
Integrál tvaru
Z
R(sin x, cos x) dx
převede univerzální goniometrická substituce t = tg
x
2
na integrál z racionální
lomené funkce proměnné t.
K odvození vztahů pro sin x a cos x použijeme následující obrázek:
Přitom
dt =
1
2
1
cos2
x
2
dx
a odtud plyne
dx =
2
1 + t2
dt.
Příklad 3.23.
Vypočítáme integrál
Z
1
4 sin x − 7 cos x − 7
dx.
158
Integrální počet
Obr. 3.1:
sin
x
2
=
t
√
1 + t2
,
cos
x
2
=
1
√
1 + t2
,
sin x = sin 2
x
2
= 2 sin
x
2
cos
x
2
=
2t
1 + t2
,
cos x = cos 2
x
2
= cos
2 x
2
− sin
2 x
2
=
1 − t2
1 + t2
.
Řešení. S využitím odvozených vztahů dostaneme:
Z
1
4 sin x − 7 cos x − 7
dx =
Z
1
8t
1 + t2
− 7 − 7t
2
1 + t2
− 7
2
1 + t2
dt =
=
Z
2 dt
8t − 7 + 7t2 − 7 − 7t2
=
Z
1
4t − 7
dt =
1
4
ln |4t − 7| + c =
=
1
4
ln
4 tg
x
2
− 7
+ c.
V mnoha případech ovšem tato substituce vede na velmi komplikované racionální
lomené funkce. Ve speciálních situacích je možné použít jednodušší substituce:
A) Je-li R(sin x, cos x) lichá v sinu (resp. v kosinu), tedy platí-li
R(− sin x, cos x) = −R(sin x, cos x)
(resp.
R(sin x, − cos x) = −R(sin x, cos x)) ,
použijeme substituci
t = cos x
(resp.
t = sin x) .
Podstata této substituce spočívá v tom, že ta goniometrická funkce, vzhledem ke které
je příslušná racionální lomená funkce lichá, se dá vytknout k diferenciálu, přičemž zůstává
v integrandu v sudé mocnině, a tedy se dá převést na tu funkci, která bude v substituci.
Příklad 3.24.