Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
zenou v příkladu 3.16 (nebo zopakujeme postup, který byl při odvozování této formule
použit).
152
Integrální počet
Příklad 3.17. Máme vypočítat integrál
Z
x3 − x2 + 3x − 3
(x2 + 4)2
dx.
Řešení. Integrand nejdříve rozložíme na parciální zlomky:
x3 − x2 + 3x − 3
(x2 + 4)2
=
Ax + B
x2 + 4
+
Cx + D
(x2 + 4)2
, tedy
x
3 − x2 + 3x − 3 = (Ax + B)(x2 + 4) + Cx + D.
Porovnáme koeficienty u stejných mocnin:
x3 :
1 = A
x2 : −1 = B
x1 :
3 = 4A + C
x0 : −3 = 4B + D
odkud plyne
A = 1,
B = −1,
C = −1, D = 1.
Dostáváme
Z
x3 − x2 + 3x − 3
(x2 + 4)2
dx =
Z
x − 1
x2 + 4
+
−x + 1
(x2 + 4)2
dx =
=
1
2
Z
2x
x2 + 4
dx −
Z
1
x2 + 4
dx −
1
2
Z
2x
(x2 + 4)2
dx +
Z
1
(x2 + 4)2
dx.
Vypočítáme jednotlivé integrály:
1
2
Z
2x
x2 + 4
dx =
1
2
ln(x
2 + 4) + c
1,
Z
1
x2 + 4
dx =
1
4
Z
1
1
2 x
2 + 1
dx =
1
4
arctg
x
2
· 2 + c2 =
1
2
arctg
x
2
+ c2,
1
2
Z
2x
(x2 + 4)2
dx =
t
= x2 + 4
dt = 2x dx
=
1
2
Z
t
−2 dt =
1
2
(−t
−1) + c
3 =
= −
1
2
1
x2 + 4
+ c3;
na poslední integrál můžeme použít rekurentní formuli z příkladu 3.16:
Z
1
(x2 + a2)n
dx =
1
2(n − 1)a2
x
(x2 + a2)n−1
+ (2n − 3)
Z
1
(x2 + a2)n−1
dx
,
kde položíme
a = 2, n = 2.
3.2 Integrační metody
153
Tedy
Z
1
(x2 + 4)2
dx =
1
8
x
x2 + 4
+
Z
1
x2 + 4
dx
=
1
8
x
x2 + 4
+
1
2
arctg
x
2
+ c4.
Dohromady
Z
x3 − x2 + 3x − 3
(x2 + 4)2
dx =
=
1
2
ln(x
2 + 4) −
1
2
arctg
x
2
+
1
2
1
x2 + 4
+
1
8
x
x2 + 4
+
1
2
arctg
x
2
+ c,
kde
c = c1 − c2 − c3 + c4;
po úpravě
Z
x3 − x2 + 3x − 3
(x2 + 4)2
dx =
1
2
ln(x
2 + 4) −
7
16
arctg
x
2
+
1
8
x + 4
x2 + 4
+ c.
Integrace některých iracionálních funkcí
Jak již bylo výše řečeno, obecná pravidla, která by nám umožnila zintegrovat libovolnou
elementární funkci, bohužel nemáme. Můžeme pouze uvést některá doporučení, která
v konkrétních případech vedou k cíli.