Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Z
f (x)dx ±
Z
g(x)dx,
Z
kf (x)dx = k
Z
f (x)dx,
protože pro derivaci platí
(F (x) + G(x))
0 = F 0(x) + G0(x) a (k F (x))0 = k F 0(x)
a současně
Z
f (x)dx
0
= f (x).
To nám ale umožní integrovat jen některé jednoduché funkce:
3.2 Integrační metody
145
Příklad 3.9. Máme vypočítat následující integrály
a)
R (x2 − 2x)2dx, b) R
x( 3
√
x − x3
√
x)
4
√
x
dx, c)
R
1
cos2 x sin
2 x
dx.
Řešení.
a)
Z
(x
2 − 2x)2dx =
Z
(x
4 − 4x3 + 4x2) dx =
1
5
x
5 − 4
1
4
x
4 + 4
1
3
x
3 + c =
=
1
5
x
5 − x4 +
4
3
x
3 + c,
b)
Z
x( 3
√
x − x3
√
x)
4
√
x
dx =
Z
x
1+
1
3
− 1
4
− x
1+3+
1
2
− 1
4
dx =
Z
x
13
12
− x
17
4
dx =
=
12
25
x
25
12
−
4
21
x
21
4
+ c,
c)
Z
1
cos2 x sin
2 x
dx =
Z
sin
2 x + cos2 x
cos2 x sin
2 x
dx =
Z
1
cos2 x
+
1
sin
2 x
dx =
= tg x − cotg x + c.
V předchozím příkladu jsme integraci provedli úpravou integrandu na součet výrazů, ke
kterým jsme primitivní funkci „uhodliÿ na základě znalosti vztahů pro derivace (tabulku
derivací jsme použili „zprava dolevaÿ). S tímto postupem již nevystačíme i u jednodu-
chých případů, kdy integrand je ve tvaru součinu nebo podílu, nebo je to složená funkce.
Při výpočtu primitivních funkcí nemáme žádnou „gramatikuÿ, jako jsme měli pro výpo-
čet derivací (známá pravidla pro derivaci součinu, podílu a složené funkce). Můžeme ale
odvodit jistá pravidla, která nám v některých případech při integraci pomohou.
Integrace per partes
Ze vztahu pro derivaci součinu
(u v)
0 = u0 v + u v0,
tedy
u v
0 = (u v)0 − u0 v
vyplývá vzorec pro integraci per partes:
Z
u(x) v
0(x) dx = u(x) v(x) −
Z
u
0(x) v(x) dx.
Vypadá to, že jsme si nijak nepomohli – integrál ze součinu funkcí jsme převedli na jiný
integrál ze součinu funkcí. V některých případech se může výpočet zjednodušit: