Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

(c) Chování funkce v okolí bodů nespojitosti a svislé asymptoty.

(d) Průsečíky se souřadnými osami.

(e) Symetrie grafu funkce (sudá, lichá).

(f) Periodičnost funkce.

II. Intervaly monotónnosti; body extrému a extrémy.

III. Intervaly konvexnosti a konkávnosti; inflexní body.

IV. Chování v nekonečnu, asymptoty se směrnicí.

Otázky a úkoly

1. Odhadněte, ve kterých bodech mají funkce f, g na následujícím obrázku lokální ex-

trémy a inflexní body, ve kterých intervalech rostou, klesají, jsou konvexní, konkávní.

2.7 Průběh funkce

139

2. Načrtněte grafy funkcí s následujícími vlastnostmi:

a) f (0) = 2, f 0(x) > 0 pro všechna x, f 0(0) = 1,

f 00(x) > 0 pro x > 0, f 00(x) < 0 pro x < 0, f 00(0) = 0,

b) f (0) = 1, f 0(x) ≥ 0 pro všechna x, f 0(0) = 0,

f 00(x) > 0 pro x > 0, f 00(x) < 0 pro x < 0, f 00(0) = 0.

3. Načrtněte graf funkce f , pro kterou platí:

a) f je spojitá na R, je sudá, f (0) = 1, přímka y = 2 − x je její asymptota pro

x → ∞, f 0

+(0) =

1
2 , f

00(x) < 0 pro x > 0,

b) f je lichá, přímka y = x − 1 je její asymptota pro x → ∞, přímka x = 1 je její

svislá asymptota, f 0

+(0) = −∞, f

00(x) > 0 pro x ∈ (0, 1), f 00(x) < 0 pro x > 1.

Cvičení

1. Vyšetřete průběh následujících funkcí:

a) f (x) =

ex

x+1 ,

b)

f (x) =

x

3−x ,

c)

f (x) = ln

x

x−3 ,

d)

f (x) =

1

x2−6x+8 ,

e)

f (x) = arctg

x−2

x ,

f ) f (x) =

x2−1

x

,

g) f (x) = ln

x2−x+1
x2+x+1 ,

h) f (x) = x3 − x,

i)

f (x) =

x+1

(x−1)2 ,

j)

f (x) =

x

2 ln x .

Výsledky

1. a) Df = R \ {−1}, roste na (0, ∞), klesá na (−∞, −1) ∪ (−1, 0), extrémy v x = 0 min. 1 , konvexní na (−1, ∞), konkávní
na (−∞, −1), inflexe není, asymptoty y = 0 (x → −∞), x = −1,