Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

případně jen

Z

f (x) dx = F (x),

kde F je některá primitivní funkce funkce f .

Funkce f se nazývá integrand nebo též integrovaná funkce, argument x integrační
proměnná.

Proces nalezení primitivní funkce k dané funkci nazýváme integrováním nebo též inte-
grací.

Tedy např. zápis

Z

x

2 dx =

1

3

x

3 + c, c ∈ R, x ∈ (−∞, ∞), nebo jen

Z

x

2 dx =

1

3

x

3

144

Integrální počet

znamená, že funkce

1
3 x

3 je primitivní funkcí k funkci x2 na intervalu (−∞, ∞) a že množina

všech primitivních funkcí k funkci x2 je množina

F

F (x) =

1

3

x

3 + c, c ∈ R

.

(Je třeba si uvědomit, že rovnost mezi neurčitými integrály je rovnost až na aditivní

konstantu.)

3.2

Integrační metody

Problém hledání primitivní funkce se od derivování liší ve dvou důležitých faktech. Za prvé,
zatímco derivace elementární funkce je vždy opět elemetární funkcí, primitivní funkce
k některým elementárním funkcím, např. k ex

2

, nejsou elementární. Za druhé, nepatrná

změna ve tvaru funkce má za následek nepatrnou změnu v její derivaci, zatímco malá
změna ve tvaru funkce může mít za následek podstatnou změnu v její primitivní funkci,
např.

Z

1

1 + x2

dx = arctg x + c,

ale

Z

x

x2 + 1

dx =

1

2

ln(x

2 + 1) + c,

jak se snadno přesvědčíme derivací výsledku.

Jak tedy najdeme k dané funkci f funkci F tak, aby platilo F 0(x) = f (x) na nějakém
intervalu I? Některé vztahy odvodíme snadno, např. jistě platí

R ex dx

=

ex,

protože

(ex)0

=

ex,

R cos x dx =

sin x,

protože

(sin x)0

=

cos x,

R

1
x dx

=

ln |x|,

protože

(ln |x|)0

=

1
x ,

R xa dx

=

1

a+1 x

a+1, a 6= −1, protože

1

a+1 x

a+10

=

xa.

(Další snadno odvoditelné vzorce jsou v závěrečném shrnutí.)

Stejně tak snadno prověříme platnost vztahů

Z

[f (x) ± g(x)] dx =