Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
b)
Z
f (ax + b) dx =
z
= ax + b
dz = a dx
=
1
a
Z
f (z) dz =
1
a
F (z) + c =
=
1
a
F (ax + b) + c.
Tyto vzorce nám umožňují u mnoha jednoduchých integrálů bez použití substituční
metody napsat přímo výsledek:
Z
cos x
sin x
dx = ln | sin x|,
Z
ex
ex + 1
dx = ln(e
x + 1),
Z
1
x ln x
dx = ln | ln x|,
a hlavně
Z
cos 2x dx =
1
2
sin 2x,
Z
e
2−x dx = −e2−x,
Z
(4x + 3)
3 dx =
1
4
1
4
(4x + 3)
4.
Nyní uvedeme příklad na použití substituční metody x = g(t):
Příklad 3.15. Vypočítáme integrál
Z
√
4 − x2 dx =
x
= 2 sin t
dx = 2 cos t dt
=
=
zde předpokládáme, že substituční funkce g(t) = 2 sin t je prostá,
tj. že její derivace g0(t) = 2 cos t je buď stále kladná, nebo stále záporná,
tedy např. t ∈ (−π/2, π/2). V tom případě t = g−1(x) = arcsin
x
2
=
=
Z
p
4 − 4 sin
2 t 2 cos t dt = 4
Z
| cos t| cos t dt = 4
Z
cos
2 t dt =
3.2 Integrační metody
149
= 4
Z
1
2
(1 + cos 2t) dt = 2t + sin 2t + c = 2t + 2 sin t cos t + c =
= 2t + 2 sin t
p
1 − sin
2 t + c = 2 arcsin
x
2
+ x
p
1 − x2/4 + c =
= 2 arcsin
x
2
+
x
2
√
4 − x2 + c.
V následujícím příkladu odvodíme ještě jeden vzorec, který budeme dále potřebovat.
Postup je značně obtížný – ilustruje, jak komplikovaná situace může při integraci nastat.
Využije se zde jak metoda substituce, tak metoda per partes.
Příklad 3.16.
Máme vypočítat integrál
Z
1
(x2 + a2)n
dx.
Řešení. Nechť n = 1. Potom
Z
1
x2 + a2
dx =
1
a2
Z
1
x
a
2 + 1
dx =
1
a2
a arctg
x
a
+ c =
1
a
arctg
x
a
+ c.
Pro n > 1 nejdříve integrand upravíme takto:
Z
1
(x2 + a2)n
dx =
1
a2
Z
a2 + x2 − x2
(x2 + a2)n
dx =
1
a2
Z