Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
1
(x2 + a2)n−1
dx −
Z
x2
(x2 + a2)n
dx
.
Na druhý integrál použijeme metodu per partes:
Z
x2
(x2 + a2)n
dx =
Z
x
2
2x
(x2 + a2)n
dx =
u =
x
2
u0 =
1
2
v0 =
2x
(x2+a2)n
v vypočítáme zvlášť
,
v =
Z
2x
(x2 + a2)n
dx =
t
= x2 + a2
dt = 2x dx
=
Z
t
−n dt =
1
1 − n
t
−n+1 =
=
1
1 − n
1
(x2 + a2)n−1
;
odtud
Z
x2
(x2 + a2)n
dx =
x
2
1
1 − n
1
(x2 + a2)n−1
−
1
2(1 − n)
Z
1
(x2 + a2)n−1
dx.
Dohromady tedy
Z
1
(x2 + a2)n
dx =
1
a2
Z
1
(x2 + a2)n−1
dx−
−
x
2
1
1 − n
1
(x2 + a2)n−1
−
1
2(1 − n)
Z
1
(x2 + a2)n−1
dx
=
=
1
2(n − 1)a2
x
(x2 + a2)n−1
+ (2n − 3)
Z
1
(x2 + a2)n−1
dx
.
150
Integrální počet
Důležité na tomto výsledku je to, že stupeň polynomu ve jmenovateli integrované funkce je
již nižší než u výchozího integrálu. Po několikanásobném použití bude tedy třeba vypočítat
integrál, který již umíme:
Z
1
x2 + a2
dx =
1
a
arctg
x
a
+ c.
Integrace racionálních lomených funkcí
Víme, že každá racionální lomená funkce je tvaru
R(x) =
Pm(x)
Qn(x)
,
kde Pm(x) a Qn(x) jsou polynomy stupňů m a n. Předpokládejme, že m < n, tj. že R
je ryze lomená; v případě neryze lomené racionální funkce, tj. pro m ≥ n, podíl Pm(x) a
Qn(x) dává po vydělení
Pm(x)
Qn(x)
= N (x) +
˜
Pi(x)
Qn(x)
,
kde
i < n
Ryze lomenou racionální funkci můžeme rozložit na parciální zlomky, a integrace racio-
nální lomené funkce se tedy převede na integraci parciálních zlomků; ty jsou následujících
čtyř typů:
I.
Z1(x) =
A
x − a ,
II.
Z2(x) =
A
(x − a)n
,
III. Z3(x) = M x + N
x2 + px + q
, IV. Z4(x) =
M x + N
(x2 + px + q)n
, p2 − 4q < 0.
První dva typy zlomků integrovat již umíme; povšimneme si podrobně posledních dvou
typů:
III.
Zlomek upravíme tak, abychom mohli použít vzorce z příkladu 3.14 – v obecném případě
rozložíme na součet dvou zlomků, z nichž první bude mít v čitateli derivaci jmenovatele
(bude násoben nějakou konstantou) a druhý bude mít v čitateli konstantu. Primitivní
funkce potom bude tvaru „logaritmus plus arkus tangensÿ.