Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Z3(x) =
M x + N
x2 + px + q
= M
x
x2 + px + q
+ N
1
x2 + px + q
=
=
(x
2 + px + q)0 = 2x + p
=
M
2
2x + p − p
x2 + px + q
+ N
1
x2 + px + q
=
=
M
2
2x + p
x2 + px + q
−
M p
2
1
x2 + px + q
+ N
1
x2 + px + q
=
3.2 Integrační metody
151
=
M
2
2x + p
x2 + px + q
+
N −
M p
2
1
x2 + px + q
.
Z
2x + p
x2 + px + q
dx = ln |x
2 + px + q| podle prvního vzorce v 3.14,
jmenovatel druhého zlomku doplníme na úplný čtverec:
x
2 + px + q =
x +
p
2
2
+ q −
p2
4
=
označme q −
p2
4
= a
2
= a
2
"
x +
p
2
a
2
+ 1
#
.
Po této úpravě můžeme na integrál z druhého zlomku použít druhý vzorec odvozený
v příkladu 3.14 a dostaneme
Z
1
x2 + px + q
dx =
1
a2
Z
1
x
a +
p
2a
2 + 1
dx =
1
a2
a arctg
x
a
+
p
2a
=
=
2
p4q − p2
arctg
2x + p
p4q − p2
.
Dohromady dostáváme
Z
Z3(x) dx =
M
2
ln(x
2 + px + q) +
2N − M p
p4q − p2
arctg
2x + p
p4q − p2
+ k =
= A ln(x
2 + px + q) + B arctg
2x + p
C
+ k.
Celý postup bude nejlépe patrný na konkrétním případu. Poznamenejme, že ve speciálních
případech může první nebo druhý sčítanec vymizet.
IV.
V posledním případě budeme postupovat analogicky jako v předchozím – zlomek opět
rozložíme na dva tak, aby v prvním byla v čitateli derivace závorky ve jmenovateli, a ve
druhém jen konstanta. Závorku ve jmenovateli doplníme na úplný čtverec. Dostaneme
Z
Z4(x) dx =
M
2
Z
2x + p
(x2 + px + q)n
dx +
N −
M p
2
Z
1
h
x +
p
2
2 + q − p
2
2
in dx.
Potom na první zlomek použijeme substituci – je to integrál tvaru
M
2
Z
f 0(x)
f n(x)
dx,
kde
f (x) = x
2 + px + q,
a ve druhém po jednoduché substituci t = x +
p
2 použijeme rekurentní formuli odvo-