Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
1 − x
≥ 0, x 6= −1, tedy pro x ∈ (−1, 1). Na
tomto intervalu je funkce g(x) = 1 + x
1 − x
klesající:
g
0(x) =
−2
(1 − x)2
< 0 ∀x,
navíc je
g(x) =
1 + x
1 − x
< 0 ∀x ∈ (−1, 1).
3.2 Integrační metody
155
Proto existuje g−1 v intervalu (0, ∞). Položíme tedy
t =
r 1 + x
1 − x
, t
2 =
1 + x
1 − x
.
Odtud
x =
t2 − 1
t2 + 1
,
dx =
4t
(t2 + 1)2
dt.
Pro přehlednost nejdříve vypočítáme potřebné výrazy:
1 − x = 1 −
t2 − 1
t2 + 1
=
2
t2 + 1
,
1 + x = 1 +
t2 − 1
t2 + 1
=
2t2
t2 + 1
.
Odtud
Z
r 1 + x
1 − x
1
(1 − x)(1 + x)2
dx =
Z
t
(t2 + 1)
2
(t2 + 1)2
4t4
4t
(t2 + 1)2
dt =
=
Z
t2 + 1
2t2
dt =
t
2
−
1
2t
+ c =
1
2
r
1 + x
1 − x
−
r 1 − x
1 + x
!
+ c.
C) Pro výpočet integrálu tvaru
Z
R
x,
√
ax2 + bx + c
dx
použijeme Eulerovy substituce
( t =
√
ax2 + bx + c ± x
√
a,
je-li a > 0,
t · x =
√
ax2 + bx + c ±
√
c, je-li c ≥ 0.
Má-li kvadratický trojčlen ax2 + bx + c reálné kořeny α, β, tedy platí-li ax2 + bx + c =
= a(x − α)(x − β), můžeme provést následující úpravu:
√
ax2 + bx + c =
p
a (x − α)(x − β) =
r
a
(x − α)2
x − α
(x − β) = (x − α)
r
a
x − β
x − α
a jedná se tedy o případ B).
Příklad 3.20.
Vypočítáme integrál
Z
1
x
√
x2 + 2x + 3
dx.
Řešení.
Zde je a = 1 > 0
a položíme
t =
√
x2 + 2x + 3 − x,
√
x2 + 2x + 3 = x + t,
tedy
x
2 + 2x + 3 = x2 + 2tx + t2,
odtud
x =
3 − t2
2(t − 1)
a dále
dx =
−t2 + 2t − 3
2(t − 1)2
dt,
156
Integrální počet
√
x2 + 2x + 3 = x + t =
3 − t2
2(t − 1)