Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
R sinh x dx
= cosh x
R cosh x dx
= sinh x
R
dx
x2 + a2
= 1
a arctg
x
a , a > 0
R
dx
x2 − a2
=
1
2a
ln
x − a
x + a
,
|x| 6= a,
a > 0
R
dx
√
x2 + b
= ln |x +
√
x2 + b|, b 6= 0
R
dx
√
a2 − x2
= arcsin x
a , |x| < a, a > 0
R
√
x2 + b dx
=
x
2
√
x2 + b +
b
2 ln |x +
√
x2 + b|, b 6= 0
Důležité integrály
R
f 0(x)
f (x)
dx=
ln |f (x)|
R f (ax + b) dx=
1
a F (ax + b)
Uvedli jsme pravidla pro výpočet neurčitých integrálů:
• linearita:
R (a f (x) + b g(x)) dx = a R f (x) dx + b R g(x) dx,
• metoda per partes:
R u(x) v0(x) dx = u(x) v(x) − R u0(x) v(x) dx,
• substituční metoda:
R f (x) dx = R f [g(t)] g0(t) dt, kde x = g(t).
162
Integrální počet
Některé typy integrálů řešitelné metodou per partes
Je-li P (x) polynom (i konstanta), potom u integrálu
R P (x) ln x dx
R P (x) arctgx dx
R P (x) arcsinx dx
klademe
u =
ln x
arctg x
arcsin x
(u0 je rac. resp. irac. funkce)
R P (x) cos x dx
R P (x) sin x dx
R P (x) ax dx
klademe
u = P (x)
a metodu opakujeme tolikrát
jako je stupeň polynomu
Některé doporučené substituce
(R(·) je racionální lomená funkce)
Typ integrálu
Substituce
R R(x, x
1
k1
, x
1
k2
, . . . , x
1
kn
) dx,
ki ∈ N t = x
1
k
,
k nejm. spol. násobek ki
R R
x,
ax+b
cx+d
1
k1
, . . . ,
ax+b
cx+d
1
kn
dx,
ki ∈ N t =
ax+b
cx+d
1
k
,
k nejm. spol. násobek ki
R R x,
√
ax2 + bx + c
dx,
a 6= 0
t =
√
ax2 + bx + c ± x
√
a
pro a > 0
xt =
√
ax2 + bx + c ±
√
c
pro c ≥ 0
R R x,
√
a2 − x2
dx
x = a sin t
nebo x = a cos t
R R x,
√
x2 + a2
dx
x = a tg t
R R x,
√
x2 − a2
dx