Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
V tomto odstavci se budeme věnovat výpočtu integrálů z iracionálních funkcí.
(Symbolem R(·) budeme označovat racionální lomenou funkci.)
A) V integrálu tvaru
Z
R(x, x
1
k1
, x
1
k2
, . . . , x
1
kn
) dx,
k1, k2, . . . , kn ∈ N,
je vhodné zavést substituci
x = t
k ,
kde k je nejmenší společný násobek celých čísel k1, k2, . . . , kn.
Příklad 3.18.
Vypočítáme integrál
Z
3
√
x
x +
√
x
dx.
154
Integrální počet
Řešení. Integrand je tvaru R(x, x
1
3
, x
1
2
). Nejmenší společný násobek čísel 1, 2, 3 je 6.
Použijeme substituci t = x
1
6
. Potom
Z
3
√
x
x +
√
x
dx =
t = x
1
6
x = t6
dx = 6t5dt
=
Z
3
√
t6
t6 +
√
t6
6t
5 dt = 6
Z
t2
t6 + t3
t
5 dt =
= 6
Z
t4
t3 + 1
dt = 6
Z
t −
t
t3 + 1
dt = |rozložíme na parciální zlomky| =
=
Z
6t +
2
t + 1
−
2t + 2
t2 − t + 1
dt =
čitatel posledního zlomku
upravíme na derivaci jmenovatele
=
= 3t
2 + 2 ln |t + 1| −
Z
2t − 1
t2 − t + 1
dt −
Z
3
t2 − t + 1
dt =
jmenovatel na
úplný čtverec
=
=
t
2 − t + 1 = (t −
1
2
)
2 + 1 −
1
4
=
3
4
4
3
(t −
1
2
)
2 + 1
=
3
4
"
2
√
3
t −
1
√
3
2
+ 1
#
=
= 3t
2 + 2 ln |t + 1| − ln(t2 − t + 1) − 2
√
3 arctg
2t − 1
√
3
+ c =
= 3
3
√
x + ln
( 6
√
x + 1)2
3
√
x − 6
√
x + 1
− 2
√
3 arctg
2 6
√
x − 1
√
3
+ c.
B) V integrálu tvaru
Z
R
x,
ax + b
cx + d
1
k1
,
ax + b
cx + d
1
k2
, . . . ,
ax + b
cx + d
1
kn
!
dx,
k1, k2, . . . , k2 ∈ N,
je vhodné zavést substituci
t =
ax + b
cx + d
1
k
,
kde k je nejmenší společný násobek čísel k1, k2, . . . , kn.
Příklad 3.19.
Vypočítáme integrál
Z
r 1 + x
1 − x
1
(1 − x)(1 + x)2
dx.
Řešení. Integrand je definován pro 1 + x